Prueba de teoría de conjuntos: $(A\cup\ B) \subseteq \ A$ sólo si $A^c \subseteq \ B^c$

Question

Tarea: Demostrar

$(A\cup\ B) \subseteq \ A$ sólo si $A^c \subseteq \ B^c$

Mi solución (en parte) sería:

Tenemos que probar 2 casos:

1.)
$(A\cup\ B) \subseteq \ A \Rightarrow A^c \subseteq \ B^c $

2.)
$A^c \subseteq \ B^c \Rightarrow (A\cup\ B) \subseteq \ A $

Caso 1:
Sea x arbitraria y $ x \in((A\cup\ B) \subseteq \ A) $
Ahora sabemos que $ x \in A $ o $ x \in B \Rightarrow x \in A$

Así que si $ x \in A $ entonces $ x \in A $ o $ x \in B $ entonces $ x \in A $
En $ x \in A $ se deduce que $ x \notin A^c $
En $ x \in B $ se deduce que $ x \notin B^c $

Por lo tanto, podemos concluir que $A^c \subseteq \ B^c $

Caso 2:
Sea x arbitraria y $ x \in A^c \subseteq \ B^c $
Ahora sabemos que $ x \notin A $ y $ x \notin B$

En este punto estoy atascado y no sé muy bien cómo continuar, además creo que mi prueba para el Caso 1 no es suficiente.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

No tiene sentido decir $x\in((A\cup B)\subseteq A)$ .

Caso 1 significa: "demostrar que $A^c\subseteq B^c$ suponiendo que $A\cup B\subseteq A$ ".

Así que asuma $A\cup B\subseteq A$ . Entonces usted toma $x\in A^c$ y demostrar $x\in B^c$ . Si no, entonces $x\in B$ pero entonces $x\in A\cup B$ Así que $x\in A$ por suposición: puesto que $x\in A^c$ Esto no es posible. Por lo tanto $x\in B^c$ .

Caso 2 significa: "demostrar que $A\cup B\subseteq A$ suponiendo que $A^c\subseteq B^c$ .

Así que asuma $A^c\subseteq B^c$ . Entonces usted toma $x\in A\cup B$ y demostrar que $x\in A$ . Te lo dejo a ti.

Answer 2

Observe que $A^c \subseteq B^c\iff B \subseteq A$ . Por lo tanto, si $A^c \subseteq B^c \implies B \subseteq A\implies A\cup B \subseteq A$ . Por el contrario, si $A \cup B \subseteq A\implies A^c \subseteq (A\cup B)^c= A^c \cap B^c \subseteq A^c\implies A^c \cap B^c = A^c\implies A^c \subseteq B^c$ .