Transformaciones lógicas de teoremas

Question

Estoy intentando transformar algunos teoremas a diferentes formas lógicas pero tengo dificultades por alguna razón, debería ser bastante sencillo pero parece que mi cerebro no funciona últimamente.

Quiero escribir una implicación en términos de varias formas para ver las distintas versiones del teorema o teoremas.

De hecho, quiero transformar una definición: Podemos utilizar como ejemplo la definición de una función cts. en un punto:

Una función $f:X\rightarrow Y$ se denomina continua en $a\in X$ si $\forall N \in N_{f(a)}$ entonces $f^{-1}(N) \in N_{a}$ .

(Aquí $N_x$ significa el conjunto de vecindades de x, no consigo que mathbb u otros cambien la fuente).

Se trata de cambiar la implicación por otras formas. La lógica es simplemente $A\rightarrow B$ . (Así que $A = \forall N \in N_{f(a)}$ y $B = f^{-1}(N) \in N_{a}$ )

Por ejemplo, la forma contrapositiva $!B\rightarrow !A$ no tiene sentido porque N se define después:

Una función $f:X\rightarrow Y$ se denomina continua en $a\in X$ si $f^{-1}(N) \notin N_{a}$ entonces $\exists N \notin N_{f(a)}$ .

por supuesto podemos traducir/desplazar esto para que terminemos con algo como(moví el $\exists$ para intentar que la implicación funcione pero...)

Una función $f:X\rightarrow Y$ se denomina continua en $a\in X$ si $\exists N \notin N_{a}$ entonces $f(N) \notin N_{f(a)}$ .

Pero esto tampoco tiene sentido y ni siquiera se deduce lógicamente de las transformaciones.

Simplemente estoy intentando convertir estos enunciados lógicos en fórmulas lógicas para manipular pero algo me despista. Hay muchas formas de escribir una implicación y me gustaría averiguar cómo hacerlo y conservar la definición o teorema equivalente.

¿Alguna idea?

Answer 1

En realidad no has expresado correctamente la continuidad: " $\forall N\in N_{f(a)}$ " es no una afirmación, por lo que no puede ser la hipótesis de una implicación. La versión correcta es $$\color{red}{\forall N(}N\in N_{f(a)}\rightarrow f^{-1}(N)\in N_a\color{red}{)},$$ es decir, toda la implicación se produce en el ámbito del cuantificador universal. La hipótesis y la conclusión de esa implicación son entonces " $N\in N_{f(a)}$ " y " $f^{-1}(N)\in N_a$ respectivamente.

Por eso tienes problemas con el contrapositivo. Aplicando el contrapositivo a la versión correcta de la definición obtenemos la propiedad equivalente $$\color{red}{\forall N(}f^{-1}(N)\not\in N_a\rightarrow N\not\in N_{f(a)}\color{red}{)},$$ que está perfectamente bien formado. Tenga en cuenta que estamos no tocando el " $\forall N$ "La "traducción contrapositiva" sólo se aplica a la implicación en sí, no a la estructura del cuantificador en la que se encuentra.

(Dicho esto, si quieres hay una transformación que podemos aplicar a ese cuantificador, a saber, la transformación dualidad de $\forall$ y $\exists$ una declaración de la forma " $\forall xP(x)$ " equivale a " $\neg\exists x\neg P(x)$ ." Pero no veo cómo eso podría ser útil en este contexto).