Sea $X$ sea una curva proyectiva suave sobre $\mathbb C$ y tomar un punto $p \in X$ . Para algunas $k$ , $\mathcal O(kp)$ es muy amplia, por lo que da una incrustación $i: C \to \mathbb P^n$ . ¿Cómo puedo encontrar un hiperplano $H \subset \mathbb P^n$ con divisor de la sección del hiperplano igual a $kp$ ? O como mínimo, sólo quiero un hiperplano divisor que intersecte $X$ sólo en $p$ . Como referencia, estoy tratando de entender por qué una curva proyectiva suave menos un número finito de puntos es afín, y hay una prueba aquí . Gracias.
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No sé si todavía te interesa, pero se trata de una aplicación del teorema de Riemann-Roch. Efectivamente, como has dicho el divisor $D = (2g+1)P$ es muy amplia por Riemann-Roch, por lo que $|D|$ da una incrustación de $\phi : X \to \Bbb P^{2g}$ .
Por otra parte, los elementos del sistema lineal $L(D)$ corresponde exactamente al conjunto de secciones del hiperplano $H \cap \phi(X)$ por lo que, en particular, existe un hiperplano $H$ con $H \cap X = \{P\}$ y en particular $X \backslash \{P\}$ es afín.
Esta correspondencia se mantiene porque si $f_0, \dots, f_n$ es una base de $L(D)$ un divisor es un elemento del sistema lineal $E = D + \text{div}(g)$ con $g =\sum a_i f_i$ corresponderá a $X$ intersecado con el hiperplano $H : \sum a_i x_i = 0$ . Para más detalles, véase el libro de Rick Miranda, Superficies de Riemann y curvas algebraicas página 159.
