El impulso de las transformaciones no son unitario, a diferencia de las rotaciones, el impulso de generadores no son Hermitian. Cuando esto induce transformaciones en el espacio de Hilbert, aquellos transformación unitaria? Yo creo que no. Si ese es el caso, ¿cuál es el significado físico de este tipo no-unitaria de transformación correspondientes a aumentos en el espacio de Hilbert?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En el actual espacio de Hilbert de una consistente relativista y mecánica cuántica, el sistema de transformación de Lorentz, incluyendo aumenta en realidad son unitaria – que también significa que los generadores $J_{0i}$ son como Hermitian como los generadores de rotaciones $J_{ij}$.
Decimos que el espacio de Hilbert forma una representación unitaria del grupo de Lorentz.
Lo que el OP debe ser confundido por el hecho de que la ordinaria representación vectorial integrado de vectores $(t,x,y,z)$ es no unitaria representación de $SO(3,1)$. El $SO(3,1)$ transformaciones no conservar cualquier positivamente definido cuadrática invariante construido fuera de las coordenadas de $(t,x,y,z)$. Después de todo, sabemos que una forma indefinida, $t^2-x^2-y^2-z^2$, es conservada por la transformación de Lorentz. Así que en una representación como el espacio vectorial de tal $(t,x,y,z)$, los generadores $J_{0i}$ terminaría siendo anti-Hermitian en lugar de Hermitian.
Pero si usted toma una de Lorentz-invariante de la teoría con una positiva definida espacio de Hilbert, como QED, la fórmula para $J_{0i}$ hace manifiesto que se trata de un Hermitian operador, lo que significa que $\langle \psi |\psi\rangle$ es preservado por la Lorentz aumenta! El complejo de las amplitudes de probabilidad para diferentes estados de $c_i$ comportan de manera diferente a las coordenadas $t,x,y,z$ por encima.
Tenga en cuenta que el (no trivial) transformaciones unitarias de $SO(3,1)$ son inevitablemente infinito-dimensional. Finito-dimensional repeticiones puede ser construido a partir de la fundamental de la representación vectorial de arriba y ellos son tan no-unitaria como la representación vectorial. Pero eso no es cierto para dimensiones infinitas repeticiones. Por ejemplo, el espacio de un escalar-de las partículas de los estados en un QFT es una representación unitaria del grupo de Lorentz. Para cada una de las $p^\mu$ obedeciendo $p^\mu p_\mu=m^2$, y hay infinitamente (de forma continua) muchos de los valores de un vector (en la misa de la shell), la representación contiene una base de vectores (la que se normalizan la función delta de Dirac). Los aumentos sólo "permutar" ellos", a lo largo de la masa de shell que hace obvio que la positivamente forma definida se conserva cuando se normaliza correctamente.
