¿son triviales las representaciones irreducibles con grandes subespacios fijos?

Question

Digamos que $G$ es un grupo finito, y $V$ es una representación irreducible de $G$ sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Supongamos que para cada $g \in G$ existe un subespacio $W_g \subset V$ que está fijado (puntualmente) por $g$ tal que la dimensión de $W_g$ es al menos la mitad de la dimensión de $V$ .

Si $k$ tiene característica cero, entonces un simple argumento con tablas de caracteres muestra que $V$ debe ser la representación trivial. (Cuando $k = \mathbb{C}$ entonces $\sum_{g \in G} tr_V(g)$ tiene parte real positiva; apelando así al principio de Lefschetz, $\sum_{g \in G} tr_V(g)$ es distinto de cero siempre que $k$ tiene característica cero).

¿Sigue siendo cierto cuando $k$ tiene una característica positiva?

Answer 1

A menos que haya malinterpretado tu pregunta o su resultado, el Corolario 1.2 en "Average dimension of fixed point spaces with applications" de Bob Guralnick y Attila Mar\'oti incluye una respuesta positiva a la pregunta. Puedes encontrarlo en arxiv en

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1001/1001.3836v1.pdf

Answer 2

No conozco la respuesta, pero he aquí algunas observaciones :

(0) Como ya se ha señalado, "irreducible" e "indecomponible" no son lo mismo para representaciones en característica positiva. "Irreducible" es una propiedad más fuerte. (Por ejemplo, las representaciones irreducibles de grupos conmutativos son siempre $1$ -mientras que las representaciones indecomponibles no tienen por qué serlo. Ningún grupo conmutativo va a dar un contraejemplo).

(1) La respuesta es "sí" si consideramos las representaciones sobre un campo de característica prima al orden de $G$ (porque la teoría de las representaciones de $G$ será la misma que en la característica cero).

(2) Si queremos construir un contraejemplo, entonces no debemos tomar $G$ ser un $p$ -grupo (como en los dos intentos anteriores). Porque entonces $k$ tendrá que ser de característica $p$ pero entonces toda representación finito-dimensional de $G$ en $k$ tiene un vector fijo distinto de cero.

(3) Más generalmente, no es posible construir un contraejemplo en la característica $p$ si $G$ tiene una normal $p$ -Sylow $H$ (dejar $W$ sea el subespacio de vectores fijado por $H$ es distinto de cero porque $H$ es un $p$ -es estable por $G$ porque $H$ es normal, por lo tanto tiene que ser todo el espacio porque la representación es irreducible, pero entonces estamos reducidos al caso de $G/H$ que tiene orden primo a $p$ y véase (1)).

Eso significa, me temo, que no hay contraejemplos fáciles con grupos muy pequeños.

Answer 3

AÑADIDO: Lo siguiente se basa en mi mala interpretación de irreducible como "no puede escribirse no trivialmente como una suma directa". Además, como señala Torsten Ekedahl, es fácil generalizar este ejemplo a una característica arbitraria.

Estrictamente hablando, esto falla en la característica 2. Tomemos $G= \mathbb Z/2$ y $V$ tener la base $u$ y $v$ con el elemento no trivial de $G$ actuando mediante $u \mapsto v$ y $v \mapsto u$ . Entonces el $1$ -que abarca el subespacio vectorial $u+v$ es invariante bajo $G$ por lo que satisface su hipótesis, pero $G$ no es trivial.

Sin embargo, se trata de un contraejemplo bastante marginal, y se podría descartar de varias maneras: suponer que la característica no es 2, suponer que $V$ es simple, o debilitar la conclusión para sólo pedir que $V$ tienen un submódulo trivial.

Answer 4

Ésta es sólo una respuesta parcial: No hay contraejemplo con $G$ a $p$ -grupo solucionable, de hecho no hay contraejemplo tal que $G$ contiene un $p$ -complemento. Esto puede verse imitando la prueba en la característica 0, utilizando el carácter de Brauer. Sea pues $\phi$ sea el carácter de Brauer del módulo. La suposición asegura que $\phi(g)$ tiene parte real no negativa.
Escriba a $G_{p'}$ para el conjunto de $p$ -elementos regulares de $G$ y para un carácter Brauer $\phi$ escriba a $\eta_{\phi} $ para el carácter proyectivo indecomponible asociado. Para $\phi$ y $\theta$ cualesquiera caracteres de Brauer irreducibles tenemos
$$ \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G_{p'}} \eta_{\phi}(g) \overline{\theta(g) } = \delta_{\phi\theta}.$$ Ahora bien $G$ contiene un $p$ -complementar $H$ se sabe que $\eta_1 = (1_H)^G$ el carácter de permutación de $G$ en los cosets de $H$ . En particular, los valores de $\eta_1$ son enteros no negativos. De ello se deduce que $\sum_{g\in G_{p'}} \eta_1(g) \phi(g) \neq 0$ y, por tanto $\phi=1$ por la relación de ortogonalidad anterior.

En general, $\eta_1$ es sólo un componente de $(1_H)^G$ y pueden tener valores negativos (por supuesto, los valores son enteros), por lo que este enfoque no funciona.