El problema es mostrar que $f=0$ siempre que $f\in C[a,b]$ y $$\int_a^bf(x)e^{kx}dx =0, \hspace{1cm}\forall k\in\mathbb{N}.$$
¿Puede alguien ayudarme?
Gracias.
Respuestas
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Jim Petkus
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Se pueden cambiar las variables y convertir esto en una aplicación del Teorema de Weierstrass (densidad de los polinomios reales en $C([e^a,e^b],\mathbb{R})$ . Esa es la respuesta de Jonas.
O puedes utilizar la versión real del Teorema de Stone-Weierstrass: http://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem
La subálgebra $\{a_o+a_1e^x+\ldots+a_ne^{nx}\;|\;\in\mathbb{N},a_j\in\mathbb{R}\}$ de $C([a,b],\mathbb{R})$ contiene una función constante distinta de cero y separa puntos. Por tanto, es denso en $C([a,b],\mathbb{R})$ .
Toma $g_n$ una secuencia en esta subálgebra que converge unformemente a $f$ en $[a,b]$ . Entonces $$ 0=\int_a^bfg_n\longrightarrow \int_a^b f^2. $$
Ahora bien $f$ es continua y $\int_a^bf^2=0$ encontramos que $f^2=0$ Por lo tanto $f=0$ .
En primer lugar, dejar que $u=e^x$ observamos que $\int_{e^a}^{e^b}f(\ln u)u^{k-1}du=0$ para todos $k\in\mathbb N$ .
A continuación, vea las siguientes preguntas antiguas:
No es cero $f \in C([0, 1])$ para lo cual $\int_0^1 f(x)x^n dx = 0$ para todos $n$
Si $f$ es continua en $[a , b]$ y $\int_a^b f(x) p(x)dx = 0$ entonces $f = 0$
