Demostración elemental de la algebraicidad de los valores propios de Hecke en peso 1

Question

Es "bien sabido" que, para cualquier peso $k$ y nivel $N$ el espacio $S_k(\Gamma_1(N))$ de formas de cúspide de ese peso y nivel tiene una base en la que todos los operadores de Hecke actúan mediante matrices con entradas en $\mathbb{Z}$ por lo que todos los valores propios de Hecke son números algebraicos (en realidad, enteros algebraicos).

Reflexionaba sobre cómo demostrarlo mientras impartía un curso universitario sobre formas modulares. En $k \ge 2$ no es difícil: existe la maquinaria Eichler-Shimura que lo relaciona con una cuestión de cohomología, y la cohomología con $\mathbb{Z}$ coeficientes hace el trabajo. Otra posibilidad, más o menos equivalente, es utilizar el emparejamiento con símbolos modulares. Ambos métodos se descomponen para $k = 1$ el único argumento que conozco que funciona en este caso es utilizar el hecho de que $X_1(N)$ tiene un modelo como variedad algebraica, y peso $k$ formas modulares corresponden a secciones del $k$ -ésima potencia de un haz de líneas que tiene una definición puramente algebraica. Pero eso no es algo que pueda explicar a una clase de estudiantes universitarios.

Para formas de cúspide de peso $k = 1$ ¿Puede demostrarse la algebraicidad de los valores propios de Hecke sin recurrir a la pesada maquinaria de la geometría aritmética?

Answer 1

Sea $S = S_{\mathbf{Q}} = M_{13}(\Gamma_1(N),\mathbf{Q})$ y $S_{\mathbf{C}} = S \otimes \mathbf{C}$ denotan el correspondiente espacio de formas modulares sobre $\mathbf{C}$ .

Sea $V \subset S \times S$ sea el subespacio recortado por pares de formas $(A,B)$ que satisfaga la siguiente ecuación:

$$A \cdot E_{12} = B \cdot \Delta$$

Como ecuaciones en los coeficientes de Fourier de $A$ y $B$ se trata de ecuaciones lineales con coeficientes en $\mathbf{Q}$ . Puesto que, por la $q$ -Según el principio de expansión, una forma modular puede recuperarse a partir de un número finito de coeficientes de Fourier, $V$ está determinado por el espacio nulo de alguna matriz finita con coeficientes en $\mathbf{Q}$ . Dado que un sistema lineal sobre $\mathbf{Q}$ tiene el mismo rango sobre $\mathbf{C}$ se deduce que $V_{\mathbf{C}} = V \otimes \mathbf{C}$ donde $V_{\mathbf{C}}$ es el conjunto de soluciones en $S_{\mathbf{C}} \times S_{\mathbf{C}}$ de las mismas ecuaciones.

Por otro lado, existe un isomorfismo: $$V_{\mathbf{C}} \rightarrow M_{1}(\Gamma_1(N),\mathbf{C})$$ dado por $$(A,B) \mapsto \frac{A}{\Delta} = \frac{B}{E_{12}}$$ La cuestión es que $E_{12}$ y $\Delta$ no tienen ningún cero común, por lo que la imagen de este mapa consiste claramente en formas holomorfas. Por tanto, el mapa está bien definido. Sin embargo, si $F$ tiene peso uno, entonces $(A,B) = (F \cdot \Delta, F \cdot E_{12})$ mapas a $F$ por lo que el mapa es suryectivo. Es claramente inyectivo, por lo que es un isomorfismo.

De ello se deduce que la imagen de $V$ bajo este mapa da una base racional para $M_1(\Gamma_1(N))$ . Desde $V$ es entonces preservada por los operadores de Hecke (como es obvio en $q$ -), el resultado es el siguiente.

Answer 2

He aquí otra prueba: Deligne y Serre han demostrado que la función L correspondiente es igual a la función L de Artin de una representación de Galois. Deligne había demostrado hechos similares conocidos para el peso $k \geq 2$ formas modulares anteriores, y su demostración se basa esencialmente en los resultados anteriores. Esto implica algebraicidad y también es el único enfoque que conozco para el mismo resultado para las formas de cúspide de Maass Hecke de valor propio de Laplace $1/4$ donde se desconoce el mismo resultado de algebraicidad.

Probablemente sea aún más difícil que lo que sugieres, o equivalente(?). Citar ese resultado de Deligne y Serre sería una opción razonable, y deducir la algebraicidad a partir de él. La pregunta es bastante antigua y no ha recibido respuesta hasta ahora, así que supongo que la clase ya no se imparte.

No se dispone de una fórmula de traza para los valores propios de Hecke de las formas de peso uno, ya que el límite de las representaciones en serie discreta opuestas a las representaciones en serie discreta no son integrables al cuadrado, y no tienen coeficientes de pseudomatriz.