18.02 MIT Cálculo multivariante - Cálculo del decrecimiento más rápido mediante la derivada direccional

Question

Estoy siguiendo el curso 18.02 del MIT de cálculo multivariante. El tema es derivadas direccionales.

He aquí la cuestión:

La función $T = x^2+2y^2+2z^2 $ da la temperatura en cada punto del espacio. En el punto $P=(1,1,1)$ ¿en qué dirección debe ir para conseguir la disminución más rápida de $T$ ¿Cuál es la derivada direccional en esta dirección?

He aquí parte de la respuesta:

Sabemos que el aumento más rápido se produce en la dirección de $\nabla T = \langle 2x,4y,4z \rangle $ . En $P$ el más rápido disminuir está en la dirección de $-\nabla T|_P= -\langle 1,2,2\rangle $ . El vector unitario en esta dirección es $\hat u = -\langle 1/3,2/3,2/3 \rangle$ . La tasa de cambio en esta dirección es $-|\nabla T|= -3$ .

Esto es lo que no entiendo:

Parece que hay un factor $1/2$ para obtener $-\nabla T|_P= -\langle1,2,2\rangle$ de $\nabla T = \langle 2x,4y,4z \rangle$ . ¿De dónde procede?

Answer 1

La respuesta que te han dado tiene varios errores. En primer lugar, el gradiente debería ser

$$ \nabla T(1,1,1) = \langle 2,4,4 \rangle $$

El vector de dirección está en la dirección equivocada $$ \hat{u} = -\frac{\nabla T}{|\nabla T|} = -\left\langle \frac13, \frac23, \frac23 \right\rangle $$

Y la derivada direccional está fuera por un factor de $2$

$$ \nabla T \cdot\hat{u} = -|\nabla T| = -6 $$

Answer 2

El gradiente en $P(1,1,1)$ es $\nabla T_P= (2,4,4)$ .

Así, el magnitud de la tasa de cambio es $$|\nabla T_P| = 2\cdot |(1,2,2)| = 6$$

Sin embargo, la dirección de la disminución máxima es en la dirección de $-(2,4,4)$ que tiene la misma dirección que $-(1,2,2)$ que dan el mismo vector unitario $$u =-\frac{1}{3}(1,2,2)$$

Editar para completar:

La derivada direccional en la dirección de $u$ es $$\nabla T_P\cdot u = -\frac{2}{3}|(1,2,2)|^2=-6$$