Aplicar el teorema del valor medio para desigualdades

Question

Sea $p, q$ sean números reales positivos tales que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . Para los números reales $a\geq0, b\geq0$ demostrar que $$ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

Estoy estudiando cálculo en la universidad.

Revisé las pruebas presentes en http://www.math.ust.hk/~majhu/Math203/Rudin/Tarea23.pdf

Pero no pude entenderlo bien. Estoy buscando una prueba mucho más simple.

Answer 1

Puedes empezar por la desigualdad: $$ x^{\lambda} y^{1-\lambda} \leq \lambda x + (1-\lambda) y, \qquad x,y>0,\ \lambda\in [0,1], $$ que se puede demostrar, por ejemplo, utilizando la concavidad y la monotonicidad de la $\log$ función: $$ \log(\lambda x + (1-\lambda)y) \geq \lambda \log x + (1-\lambda)\log y = \log(x^\lambda y^{1-\lambda}). $$

A continuación, puede utilizar esta desigualdad con $x=a^p$ , $y=b^q$ , $\lambda = 1/p$ , $1-\lambda = 1/q$ .

Answer 2

Otra forma de mostrar la desigualdad es utilizar Desigualdad de Young .

La desigualdad de Young establece que si $f$ es una función continua y estrictamente creciente en algún intervalo $[0, c]$ con $c > 0$ y $f(0) = 0$ entonces para todos $a \in [0, c]$ y $b \in [0, f(c)]$ $$\int^a_0 f(x) \, dx + \int^b_0 f^{-1} (x) \, dx \geqslant ab,$$ con igualdad si y sólo si $b = f(a)$ . Aquí $f^{−1}$ denota la función inversa de $f$ .

La desigualdad de Young es tan general que muchas desigualdades interesantes pueden pueden derivarse de ella. En particular, si la función $f(x) = x^{p-1}$ para $p > 1$ se toma en la desigualdad de Young el resultado que buscas sigue inmediatamente.