He aquí una prueba más elemental de que ninguna curva plana suave de grado $d>2$ tiene un $g_e^1$ para cualquier $e<d-1$ (donde utilizamos la definición "estricta" de un $g_e^1$ como divisor $D$ con $\deg D = e$ y $|D|=1$ y habría que añadir algunas hipótesis menores sobre $e$ si se trabaja en característica positiva). $\def\PP{\mathbb{P}}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cI{\mathcal{I}}\def\G{\Gamma}$ Para ello necesitaremos una interpretación más geométrica de Riemann-Roch: partiendo de $l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g$ podemos reescribirlo como $l(D)-1 = \deg D-1-g+l(K-D)+1$ . Está claro que podemos interpretar $l(D)-1$ como $\dim |D|$ y también podemos interpretar $-g+1+l(K-D)$ como $-(g-(l(K-D)-1))$ el negativo de la dimensión del espacio de hiperplanos en $\PP^{g-1}$ que desaparecen en la imagen de $D$ bajo la incrustación canónica. Así que Riemann-Roch también dice que $\dim |D|=\deg D-1-\dim \overline{\varphi_K(D)}$ donde el último término es la dimensión de la imagen de $D$ bajo la incrustación canónica (convenientemente interpretada cuando $D$ contiene puntos de la forma $nP$ ). Esto significa que $|D|$ es igual a la diferencia entre la dimensión "esperada" del tramo de $\deg D$ puntos y la dimensión del tramo real de $\deg D$ puntos bajo $\varphi_K$ la incrustación canónica. En particular, si tenemos un $g_e^1$ Esto significa que hay $e$ puntos (distintos) de la curva canónica que se encuentran en un $(e-2)$ -plano: suponemos que $e$ es tal que el mapa inducido por el $g_e^1$ es separable y, por tanto, genéricamente no ramificada. Demostraremos que si $e<d-1$ esto no puede suceder encontrando una sección del haz canónico que desaparezca en cualquier $e-1$ de estos puntos pero no el $e^{th}$ .
Para una curva plana suave $X$ de grado $d$ el haz canónico es $\cO_X(d-3)$ . Basta con encontrar una sección de $\cO_{\PP^2}(d-3)$ que satisface nuestras condiciones de desaparición/no desaparición: el mapa de restricción en secciones globales es inyectivo porque el núcleo es $\G(\cI_X(d-3))\cong \G(\cO_{\PP^2}(-d+d-3)) \cong \G(\cO_{\PP^2}(-3))=0$ . Si $e<d-1$ entonces $e-1\leq d-3$ y basta con resolver el problema para $d-3$ puntos: para cada punto, elige una forma lineal que desaparezca en él pero no en nuestro punto final, y multiplícalas todas juntas para encontrar un grado $d-3$ polinomio que satisface nuestras condiciones. Esto demuestra nuestra afirmación.
Como siempre hay un grado $d-1$ mapa disponible proyectando desde un punto de la curva, se trata de un límite inferior agudo.
