Supongamos que hay dos variables aleatorias gaussianas de media cero y varianza unitaria, $X_1$ y $X_2$ . La matriz de covarianza del vector $\bf{X} = [X_1, X_2]^T$ es entonces \begin{align*} C_X = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} . \. Ahora me gustaría conseguir un nuevo vector $\bf{Y}$ de $\bf{X}$ mediante transformaciones lineales, de forma que la matriz de covarianza de $\bf{Y}$ es $$ C_Y = \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix}. $$ He probado la siguiente transformación lineal $$ \bf{Y} = \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix} \bf{X}. $$ Esto me da la matriz de covarianza $$ C_Y = \begin{bmatrix} 1+\rho^2 & 2\rho \\ 2\rho & 1+\rho^2 \end{bmatrix}. $$ Puedo reducir la varianza de $X_1$ y $X_2$ a $\frac{1}{2}$ para que pueda tener $\rho$ en las entradas fuera de la diagonal. Con este ajuste $Y_1$ y $Y_2$ cada uno tendría una varianza $\frac{1+\rho^2}{2}$ que puedo normalizar para obtener $1$ en las entradas diagonales.
Así que ahora tengo dos preguntas
- ¿Es ésta la mejor manera de obtener la matriz de covarianza necesaria?
- Si la dimensionalidad de $\bf{X}$ es $n$ tendría que dividir $\bf{X}$ por $\sqrt{n}$ . ¿Es correcto? ¿Cómo normalizaría las entradas diagonales de $\bf{Y}$ ser $1$ ? En este caso requeriría que la matriz de covarianza tuviera $\rho$ en todas las entradas no diagonales y $1$ a lo largo de las entradas diagonales.
Se agradece cualquier ayuda.
