Determinar la convergencia o divergencia de $\sum_{2}^{\infty}\frac{1}{(\log n)^{s}}$ donde $s \in \mathbb{R}$ se da.

Question

Desde $$\frac{1}{(\log n)^{s}} > \frac{1}{n^{s}}$$ para grandes $n$ , si $s \leq 1$ entonces $\sum_{2}^{\infty}\frac{1}{(\log n)^{s}}$ diverge.

Pero para $s > 1$ Todavía no he encontrado una prueba.

Answer 1

Existe un teorema que afirma que si $a_n$ es una secuencia decreciente, entonces $\sum_n a_n$ converge si $\sum_i 2^i a_{2^i}$ converge.

Véase la prueba en el capítulo 3 de Baby Rudin.

Aplicándolo aquí obtenemos $$\sum_i \frac{2^i}{(\log(2^i))^s} = \frac{1}{(\log 2)^s} \sum_i \frac{2^i}{i^s}$$

que diverge, por lo tanto la serie original diverge.

Answer 2

Una prueba diferente. $$\lim_{n\to\infty}\frac{(\log n)^s}{n}=0\quad\forall s>0.$$ Así $$\frac{1}{(\log n)^s}\ge\frac{1}{n}\quad\text{for $ n $ large enough (depending on $ s $.)}$$