Si $\{x,\{x,y\}\} = \{z, \{z,t\}\}$ entonces debe ser $x = z$ y $y = t$ ?

Question

Si $\{x,\{x,y\}\} = \{z, \{z,t\}\}$ entonces debe ser $x = z$ y $y = t$ ?

¿Puede explicarlo o dar alguna pista?

Answer 1

Daré parte de una prueba que muestra la idea.

Sea $\{x,\{x,y\}\}=\{z,\{z,t\}\}$ .

Entonces $x\in\{z,\{z,t\}\}$ por lo que $x=z$ o $x=\{z,t\}$ por la definición de par.

También $z\in\{x,\{x,y\}\}$ por lo que $z=x$ o $z=\{x,y\}$ .

Supongamos ahora que $x=\{z,t\}$ . Si $z=x$ entonces $x=\{x,t\}$ pero entonces $x\in x$ que está prohibida por el axioma de la relatividad. Si $z=\{x,y\}$ entonces $x \in z \in x$ que también está prohibida por el axioma de la relatividad. Concluimos que $x \not = \{z,t\}$ por lo que debe ser que $x=z$ .

$y=t$ se puede demostrar de forma similar.