Isomorfismos entre subespacios de espacios vectoriales

Question

Originalmente, yo estaba tratando de entender esta prueba de Axler:

Proposición: Si V y W son de dimensión finita, entonces $\mathcal{L}$ (V,W) es de dimensión finita y dim $\mathcal{L}$ (V,W) = (dim V)(dim W).

Que es:

Suponiendo que (v1,...,vn) es una base de V y (w1,...,wm) es una base de W, entonces $\mathcal{M}$ es un mapa lineal invertible (isomorfismo) entre $\mathcal{L}(V,W)$ y Mat( m,n, F ). Dim Mat(m,n,F)=m*n, y que dos espacios vectoriales isomorfos de dimensión finita tienen siempre la misma dimensión, dim $\mathcal{L}(V,W)$ = Dim Mat(m,n,F)=m*n. (Sólo dice que se deduce de algunos teoremas numerados)

Mat tiene n subespacios de $Tv_k =\sum_{j=1}^m a_{j,k} w_j$ con dim m. Estaba pensando si $\mathcal{L}(V,W)$ tendrían necesariamente subespacios del mismo tamaño.

Quiero saber si para dos espacios vectoriales cualesquiera con un isomorfismo entre ellos, si existe un isomorfismo entre cada uno de sus subespacios.

He deducido que un isomorfismo debe preservar toda la estructura, pero me cuesta entender cómo esto viene de uno a uno y sobre mapeo.

Answer 1

Dices "He deducido que un isomorfismo debe preservar toda la estructura, pero me cuesta entender cómo esto viene de uno a uno y sobre mapeo."

En álgebra, un isomorfismo se define como un homomorfismo biyectivo. Es la cualidad homomórfica que preserva la estructura. (Una biyección es un mapeo 1-1, onto).

Además, usted afirma "Quiero saber si para cualesquiera dos espacios vectoriales con un isomorfismo entre ellos, si existe un isomorfismo entre cada uno de sus subespacios."

Por definición, un isomorfismo entre dos espacios vectoriales actuará también como un isomorfismo entre subespacios.

Answer 2

Si $T : V \to W$ es un mapa lineal, y $U \subseteq V$ es un subespacio lineal, entonces $T(U) \subseteq W$ es un subespacio lineal.

Si $T$ es invertible, entonces aplicando el mismo razonamiento a $T^{-1}$ nos da una correspondencia uno a uno entre subespacios de $V$ y subespacios de $W$ y dos subespacios cualesquiera que se correspondan son isomorfos, con $T$ siendo la elección canónica de isomorfismo en una dirección. (o más exactamente, la restricción de $T$ al subespacio)