¿Pueden ser imaginarios los coeficientes utilizados para demostrar que un conjunto de funciones es linealmente dependiente?

Question

Por ejemplo: $\cos x$ , $e^{ix}$ , $3\sin x$ .

Puedo mostrar: $C_1\cos x + C_2 e^{ix} + C_33\sin x = 0$ si $(C_1,C_2,C_3) = (1,-1,i/3)$

Pero no sé si $C_3 = i/3$ es un coeficiente válido para elegir. ¿Pueden ser imaginarios estos coeficientes?

Answer 1

La dependencia lineal también depende del campo

Por ejemplo $\mathbb{F}=\mathbb{Q}$ entonces podemos demostrar que $\sqrt{2},\sqrt{3}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ pero claramente son no son linealmente independientes en $\mathbb{F}=\mathbb{R}$

El campo subyacente debe mencionarse en la pregunta formulada