¿Cuál es la mejor manera de explicar a los estudiantes que todas las variedades unidimensionales son orientables?

Question

Supongamos que $M$ es un conectado $1$ -(Haussdorf y paracompacta). Sabemos que existen exactamente dos tipos, hasta el difeomorfismo (incluso hasta el homeomorfismo), a saber $\mathbb R$ y $S^1$ . Ambos son claramente orientables, y una forma "muy potente" de demostrarlo es mostrar que la potencia exterior superior $\Lambda^n (T^*M)$ de su haz cotangente, que es el propio haz cotangente ya que $n=1$ es trivial, porque cada una de estas variedades es un grupo de Lie. Por supuesto, si ya sabes que los únicos son $\mathbb R^1$ y $S^1$ También se puede demostrar directamente a partir de la definición de orientabilidad de "cubierta orientada" que ambas son orientables.

Estoy impartiendo un curso de curvas y superficies de tercer curso, y lo que busco es lo siguiente. Supongamos que no saber lo que todos los conectados $1$ -dimensionales suaves son. (En mi curso podemos suponer que son submanifolds embebidos de $\mathbb R^n$ pero eso no es muy importante). ¿Cómo se puede demostrar, utilizando ideas elementales, que cualquier curva conexa tiene que ser orientable?

Creo que una forma de hacerlo es la siguiente: demostrar que cualquier curva conexa puede expresarse como la imagen de una solo curva parametrizada regular. Una vez que tenemos esto, hemos terminado. Está claro que el argumento debe utilizar el hecho de que siempre podemos "reparametrizar por longitud de arco", y midiendo la longitud de arco desde un punto fijo en una dirección inicial fija, se obtiene un difeomorfismo con $\mathbb R$ o con $S^1$ dependiendo de si la curva es cerrada o no. Hay alguna manera fácil de justificar esto a los estudiantes en una clase de curvas y superficies? ¿Existe algún argumento más sencillo del que no me haya percatado?

La razón por la que estoy pensando en esto es porque todos los textos de licenciatura sobre curvas y superficies dedican mucho tiempo a explicar por qué las superficies no necesitan ser orientables, pero nunca discuten por qué la orientabilidad nunca es un problema para las curvas. También pasan mucho tiempo hablando de "cubrir una superficie con múltiples gráficos de coordenadas" pero nunca discuten (excepto para $S^1$ A veces, la necesidad de cubrir una curva con más de un gráfico. Estaría bien poder dar a mis alumnos una explicación fácil (pero rigurosa) de la orientabilidad de cualquier curva conexa.

Answer 1

Creo que es más fácil modelar una variedad orientable como una cuyos mapas de pegado están en $\mathrm{Diff}^+$ . En realidad, la siguiente demostración también funciona en la categoría topológica.

Se puede suponer que todas las cartas del 1manifold son intervalos abiertos, y que dos cartas cualesquiera también se cruzan en un intervalo. Entonces, una vez que orientas uno de los intervalos, la orientación se propaga a sus vecinos. Ahora bien, existe un principio en combinatoria según el cual las orientaciones serán todas coherentes a menos que exista una obstrucción finita. ¿Cómo sería esta obstrucción? Usando la condición de Hausdorff, y desechando los gráficos redundantes, puedes limpiar cualquier colección finita de gráficos hasta que tengas una secuencia de gráficos o una secuencia cíclica de gráficos encadenados por los extremos. En cualquier caso, está claro que no hay ningún obstáculo finito.

Nótese que existen 1manifolds no Hausdorff que no son orientables; la condición Hausdorff es, por tanto, esencial para la demostración.

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He aquí algunas observaciones adicionales sobre el argumento. En primer lugar, este principio combinatorio. Otra ilustración del mismo principio es el hecho de que un grafo es $k$ -si y sólo si cada subgrafo finito es $k$ -colorable. Si el grafo sólo tiene un número contable de vértices, existe una prueba estándar por inducción; sólo el caso incontable requiere algo más sofisticado, como el lema del ultrafiltro o el teorema de Tychonoff. De hecho, el caso que se necesita es casi el mismo que el del $k=2$ caso de colorabilidad. Este caso, y el argumento de orientabilidad, es aún más fácil que el caso general porque la coloración u orientación local es esencialmente única.

En segundo lugar, limpiar el atlas para que cada gráfico sea un intervalo y una intersección no vacía de dos gráficos cualesquiera sea un intervalo. La primera condición a veces forma parte de la definición de un atlas. Pero si no es así, cada conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es una unión contable de intervalos (o cada conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ es una unión contable de bolas) y se pueden hacer cartas separadas. En cuanto a la segunda condición, utilizando el teorema del valor intermedio y la condición de Hausdorff, dos gráficos de intervalos sólo pueden intersecarse en un extremo o en ambos. Si se cruzan en ambos extremos, todos los demás gráficos son redundantes y el colector es un círculo.

Answer 2

Tengo una idea, pero quizá no sea más sencillo que demostrar directamente que sólo hay dos clases de difeomorfismo de las variedades unidimensionales...

Un resultado preliminar es que dos puntos distintos cualesquiera pueden unirse mediante una curva regular. Supongamos ahora que $M$ no es orientable. Entonces su cubierta de orientación, digamos $N$ tiene una involución de inversión de orientación $s$ sin puntos fijos. Tomemos una curva regular $c:[0,1]\to N$ unirse a $x$ y $s(x)$ para algunos $x\in N$ (es decir $c(0)=x$ y $c(1)=s(x)$ ).

Desde $s$ invierte la orientación de $N$ debemos tener $s_*(\dot c(0))=a\dot c(1)$ para algún negativo $a$ .

Al trabajar en gráficos locales, esto demuestra que $s$ en realidad define una involución $\sigma$ del intervalo $[0,1]$ con $c\circ \sigma=s\circ c$ y, por tanto $s$ tiene un punto fijo, contradicción.

Answer 3

Me llama la atención la idea de que habría que demostrar primero que existe una función de Morse, y resolver la orientabilidad y otras cosas como corolarios.

Answer 4

¿Elemental? Sea M una curva. ¿Podemos encontrar un campo vectorial suave y no evanescente definido en todas partes de M? Esto demuestra el teorema.

¿Cómo explicarlo? Llamar "adelante" a cualquier dirección a la que apunte el vector es una elección de orientación para la curva.