Considere la topología del límite superior en $\mathbb{R}$ . Es necesario demostrar que la topología del producto en $\mathbb{R^2}$ no es normal. Como pista se me pide que considere los dos conjuntos $E=\{(x,-x):x\in\mathbb{Q}\}$ y $F=\{(x,-x):x\in\mathbb{R\setminus Q}\}$ . Supongo que estos dos conjuntos deben cerrarse en $\mathbb{R^2}$ pero no encuentro la forma de probarlo. ¿O me equivoco? ¿Puede alguien ayudarme a demostrarlo? Gracias.
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Mirko
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Sea $D=\{(x,-x):x\in\mathbb R\}$ (llamada antidiagonal). Claramente $D$ está cerrado en $\mathbb R^2$ cuando $\mathbb R$ recibe la topología estándar. Por tanto, $D$ está cerrado en $\mathbb R^2$ cuando $\mathbb R$ se le da la topología de límite superior, ya que esta última topología es más fuerte.
Se deduce fácilmente que todo subconjunto de $D$ es relativamente abierto (como subconjunto de $\mathbb R^2$ cuando $\mathbb R$ recibe la topología del límite superior). Para ver que todo singleton $\{(x,-x)\}$ es relativamente abierto en $D$ Obsérvese que $\{(x,-x)\}=D\cap ([x,x+1)\times[-x,-x+1))$ y $[x,x+1)\times[-x,-x+1)$ está abierto. Como todo singleton es relativamente abierto, se deduce que todo subconjunto de $D$ es relativamente abierto (es decir, abierto como subconjunto de $D$ cuando $D$ se le da la topología inducida). Así, $D$ como subespacio de $\mathbb R^2$ (cuando $\mathbb R$ se le da la topología de límite superior) tiene la topología discreta. De ello se deduce que todo subespacio de $D$ también es relativamente cerrado. Pero como $D$ es cerrado, tenemos que todo subconjunto de $D$ está cerrado en $\mathbb R^2$ (cuando $\mathbb R$ recibe la topología de límite superior).
En particular $E$ y $F$ están cerrados. Esta pregunta es un duplicado (dos veces, como indiqué en un comentario) habiendo recibido dos respuestas (del mismo usuario, H.B.), ambas respuestas utilizando el Lemma de Jones (que es una de las pruebas estándar que responden a tu pregunta). Yo prefiero escribir una prueba ligeramente distinta, utilizando el teorema de la categoría de Baire.
Supongamos que existieran conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ con $E\subseteq U$ y $F\subseteq V$ separando $E$ y $F$ en $\mathbb R^2$ (cuando $\mathbb R$ recibe la topología del límite superior). Para cada $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ fijar $\varepsilon_x>0$ tal que $([x,x+\varepsilon_x)\times[-x,-x+\varepsilon_x))\subseteq V$ . Para cada $n\ge1$ deje $F_n=\{x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q:\varepsilon_x>\frac1n\}$ . Entonces $R\setminus\mathbb Q=\bigcup_{n\ge1}F_n$ . Desde $R\setminus\mathbb Q$ es de la segunda categoría (como subespacio de $\mathbb R$ con la topología habitual, donde "categoría" se entiende como en el teorema de la categoría de Baire), debe existir una $n\ge1$ tal que el cierre (habitual) de $F_n$ contiene algún intervalo $(a,b)$ (con $a<b$ ). Se puede comprobar entonces que el conjunto $\Bigl(\bigcup_{a<t<b}((t,t+\frac1n)\times(-t,-t+\frac1n))\Bigr)\subseteq V$ . Tome cualquier racional $q\in(a,b)$ . Hay algunos $\varepsilon>0$ tal que $([q,q+\varepsilon)\times[-q,-q+\varepsilon))\subseteq U$ . Pero $[q,q+\varepsilon)\times[-q,-q+\varepsilon)$ debe intersecarse $\bigcup_{a<t<b}((t,t+\frac1n)\times(-t,-t+\frac1n))$ Por lo tanto $U$ se cruza con $V$ lo que completa la prueba de que $\mathbb R^2$ (cuando $\mathbb R$ se le da la topología de límite superior) no es normal. (Obsérvese también que este último espacio se conoce como plano de Sorgenfrey, y que $\mathbb R$ con la topología de límite superior se conoce como línea de Sorgenfrey).
