Soluciones no nulas de $\mathbb E\left[e^{\theta X}\right] = 1$ ?

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria con $\mu=\mathbb E[X]\ne0$ y que $X$ tiene una función generadora de momento finito en algún intervalo abierto que contiene a $0$ . Entonces para que $\theta\ne0$ ¿se cumple la siguiente ecuación? $$\mathbb E\left[e^{\theta X}\right] = 1. $$

El libro que estoy leyendo ( Procesos estocásticos por Ross) dice "Supondremos que tal $\theta$ existe (y suele ser único)" sin justificación. Esta afirmación no me parece obvia. Por ejemplo, si $X$ tiene una distribución exponencial con media $\mu$ entonces $$\mathbb E\left[e^{\theta X}\right] = \frac{\mu^{-1}}{\mu^{-1}-\theta}=1 $$ sólo tiene la solución $\theta=0$ mientras que si $X\sim\mathcal N(\mu, \theta^2)$ , $$\mathbb E\left[e^{\theta X}\right] = e^{\mu\theta + \frac12\sigma^2\theta^2}=1,$$ tiene la solución $\theta = -\frac{2\mu}{\sigma^2}$ . Entonces, ¿en qué condiciones tiene esta ecuación solución(es) distinta(s) de cero?

Editar: El mapa $x\mapsto e^{\theta x}$ es convexa, por lo que la desigualdad de Jensen da como resultado $$e^{\theta\mu}\leqslant\mathbb E[e^{\theta X}]=1 $$ y por lo tanto $\theta\mu<0$ . Es decir $\theta$ y $\mu$ deben tener signos opuestos.

Answer 1

Ampliando el comentario de @Did, si $\mathbb P(X>0)=1$ entonces $\mathbb P(\theta X>0)=1$ para $\theta>0$ así que $\mathbb P(e^{\theta X}>1)=1$ y $\mathbb E[e^{\theta X}]>1$ . Por la misma lógica, $\mathbb E[e^{\theta X}]<1$ para $\theta <0$ .

Si $\mathbb P(X<0)=1$ entonces por simetría vemos que $\mathbb E[e^{\theta X}]<1$ cuando $\theta>0$ y $\mathbb E[e^{\theta X}]>1$ cuando $\theta<0$ .

Si $\mathbb P(X>0)$ y $\mathbb P(X<0)$ son ambas positivas, entonces $\mathbb E[e^{\theta X}]\to\infty$ cuando $\theta$ converge a un punto límite de su región de convergencia. Por tanto, $\mathbb E[e^{\theta|X|}]$ es finito para algún $\theta>0$ concluimos por continuidad de $\exp$ que existe $\theta^\star\ne0$ tal que $\mathbb E[e^{\theta^\star X}]=1$ .