Dado que nunca podemos probar la consistencia de una teoría para los fundamentos de las matemáticas en un sistema más débil, uno podría dudar seriamente de si alguno de los marcos fundacionales comúnmente utilizados (ZFC u otras axiomatizaciones de la teoría de conjuntos, PA de segundo orden, teoría de tipos) es realmente consistente (y, por tanto, verdadero para algún dominio de objetos). Una de las formas de justificar un determinado marco para los fundamentos de las matemáticas consiste en adoptar una postura empirista en la filosofía de las matemáticas y argumentar que las matemáticas deben ser correctas porque explican correctamente los fenómenos naturales que observamos (es decir, son necesarias en las ciencias empíricas) y que, por tanto, está justificado algún marco fundacional que unifique nuestro conocimiento matemático.
Ahora bien, los distintos marcos fundacionales tienen diferentes puntos fuertes de coherencia. Por ejemplo, ZFC con algún axioma cardinal grande (que uno podría querer aceptar para hacer teoría de categorías más cómodamente) tiene una mayor fuerza de consistencia que sólo ZFC. La justificación anterior sólo justificaría un marco fundacional de una determinada fuerza de consistencia si esa fuerza de consistencia es necesaria para alguna aplicación de las matemáticas a las ciencias empíricas.
¿Se ha investigado la cuestión de qué consistencia del marco fundacional es necesaria para las matemáticas aplicadas? ¿Existe alguna aplicación de las matemáticas a las ciencias empíricas que requiera un gran cardinal? ¿Es tal vez algo de fuerza de consistencia más débil que ZFC suficiente para las matemáticas aplicadas? ¿Se ha planteado antes algún filósofo de las matemáticas preguntas como éstas?
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Creo que te refieres a las matemáticas inversas. Esta ciencia investiga qué axiomas son necesarios para un determinado teorema.
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Una cuestión importante a este respecto es ¿Es relevante el axioma de elección para las aplicaciones de las matemáticas a las ciencias empíricas? Se utiliza a menudo, a través de teoremas de Análisis Funcional, pero así podría ser debido a nuestra pereza.
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"¿Cree alguien que la diferencia entre las integrales de Lebesgue y Riemann puede tener un significado físico, y que el hecho de que, digamos, un avión vuele o no pueda depender de esta diferencia? Si así se afirmara, no me importaría volar en ese avión". (Richard Hamming)
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Usted dice "T" en un contexto aplicado y yo digo "ZFC demuestra T", reduciendo la fuerza de consistencia "necesaria" para mi afirmación muy por debajo de PA. ¿Por qué necesitaría más?
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@MattF.: Porque tal vez ZFC prueba 0=1.....