Las matemáticas aplicadas necesitan fuerza de coherencia

Question

Dado que nunca podemos probar la consistencia de una teoría para los fundamentos de las matemáticas en un sistema más débil, uno podría dudar seriamente de si alguno de los marcos fundacionales comúnmente utilizados (ZFC u otras axiomatizaciones de la teoría de conjuntos, PA de segundo orden, teoría de tipos) es realmente consistente (y, por tanto, verdadero para algún dominio de objetos). Una de las formas de justificar un determinado marco para los fundamentos de las matemáticas consiste en adoptar una postura empirista en la filosofía de las matemáticas y argumentar que las matemáticas deben ser correctas porque explican correctamente los fenómenos naturales que observamos (es decir, son necesarias en las ciencias empíricas) y que, por tanto, está justificado algún marco fundacional que unifique nuestro conocimiento matemático.

Ahora bien, los distintos marcos fundacionales tienen diferentes puntos fuertes de coherencia. Por ejemplo, ZFC con algún axioma cardinal grande (que uno podría querer aceptar para hacer teoría de categorías más cómodamente) tiene una mayor fuerza de consistencia que sólo ZFC. La justificación anterior sólo justificaría un marco fundacional de una determinada fuerza de consistencia si esa fuerza de consistencia es necesaria para alguna aplicación de las matemáticas a las ciencias empíricas.

¿Se ha investigado la cuestión de qué consistencia del marco fundacional es necesaria para las matemáticas aplicadas? ¿Existe alguna aplicación de las matemáticas a las ciencias empíricas que requiera un gran cardinal? ¿Es tal vez algo de fuerza de consistencia más débil que ZFC suficiente para las matemáticas aplicadas? ¿Se ha planteado antes algún filósofo de las matemáticas preguntas como éstas?

Answer 1

El ámbito de investigación conocido como Invertir Matemáticas se ocupa de encontrar la teoría más débil que que basta para demostrar un enunciado matemático dado sobre un teoría base muy débil. El proyecto se ha llevado a cabo con éxito para una gran teoremas de la matemática clásica, muchos de los cuales parecen para cualquier esfuerzo sólido en matemáticas aplicadas. Así que me parece que la respuesta a su pregunta es está en la fuerza matemática inversa precisa de los principales teoremas clásicos utilizados en cualquier rama de la rama de la matemática aplicada que tengas en mente. gran parte del análisis clásico y otras áreas.

Hay un libro especialmente bueno sobre matemáticas inversas de Stephen Simpson, y el tema se ha mencionó varias veces aquí en MathOverflow .

Un resultado sorprendente del trabajo es que numerosos teoremas clásicos han resultado ser equivalentes entre sí. entre sí, agrupados en un número comparativamente pequeño de clases de equivalencia. Siga el enlace anterior para obtener información sobre las cinco teorías principales.

Answer 2

Parece que su interés se centra principalmente en el aspecto filosófico de su pregunta, así que me gustaría abordarlo directamente, aunque no soy ni de lejos un filósofo de las matemáticas.

No es estrictamente cierto que un punto de vista empirista sólo pueda justificar la fuerza de consistencia necesaria para una aplicación inmediata. El argumento empirista que das en tu pregunta para creer en las matemáticas suena mucho a Quine. Quine, como tú, argumentaba a favor de aceptar la validez de (algunas) matemáticas debido a la utilidad de las matemáticas en las ciencias. Otras matemáticas no las aceptaba porque no se le ocurrían aplicaciones científicas. Por ejemplo, Quine defendía el uso coherente del axioma de constructibilidad ( $V=L$ ) en toda la matemática porque pensaba que así bastaría para los fines de la matemática aplicada.

El problema con este punto de vista es que traza un borde irregular a través del corazón de las matemáticas, negando la validez de importantes trabajos que a menudo motivan e interconectan con las matemáticas al otro lado (justificable para Quine) de la barrera. (Por ejemplo, hay una cuestión de MO que no puedo encontrar ahora mismo sobre teoremas que se demostraron primero usando el axioma de elección, y más tarde se demostraron con hipótesis más débiles; existen ejemplos similares de teoremas que se demostraron primero usando axiomas cardinales grandes, y más tarde se demostró que se deducían sólo de ZFC).

Es posible ser empirista y también aceptar la validez de toda la empresa matemática. Penelope Maddy es una firme defensora de este punto de vista. Recomiendo especialmente su libro Segunda Filosofía en este contexto. Sus argumentos son delicados, por lo que evitaré intentar resumirlos. Sin embargo, al igual que Quine, acepta la validez de algunas matemáticas debido a su importancia en las aplicaciones, mientras que, a diferencia de Quine, acepta el resto de las matemáticas debido a la unidad inherente de las matemáticas y a la irracionalidad de cualquier corte de las matemáticas en trozos filosóficamente justificados e injustificados.

Answer 3

Para responder a su pregunta

¿Se han realizado investigaciones i en el marco fundacional se necesita para las matemáticas aplicadas? En alguna aplicación de las matemáticas a las ciencias empíricas que requiera un gran cardinal? ¿Es tal vez algo de fuerza de consistencia más débil que ZFC suficiente para las matemáticas aplicadas? ¿Tiene algún filósofo de las matemáticas preguntas como estas antes?

Artículo de Solomon Feferman Por qué un poco da para mucho: Fundamentos lógicos de las matemáticas científicamente aplicables , en PSA 1992, Vol. II, 442-455, 1993. Reimpreso como capítulo 14 en A la luz de la lógica, 284-298. ( http://math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf ) puede ser de interés.

Answer 4

Editado 3/10/2017

Los cardinales muy grandes en torno al área rank-into-rank tienen potencialmente aplicaciones en criptografía. Los cardinales rank-into-rank producen álgebras autodistributivas que pueden utilizarse como plataformas o para producir plataformas para esquemas de autenticación y protocolos de intercambio de claves. Por lo tanto, si estas álgebras autodistributivas se consideran seriamente como plataformas para nuevos criptosistemas, entonces se necesitará toda la gran jerarquía cardinal para investigar en matemáticas aplicadas.

Recordemos que una incrustación de rango a rango es una incrustación elemental $j:V_{\lambda}\rightarrow V_{\lambda}$ . Sea $\mathcal{E}_{\lambda}$ denota la colección de todas las incrustaciones de rango a rango $j:V_{\lambda}\rightarrow V_{\lambda}$ . Definir una operación binaria $*$ en $\mathcal{E}_{\lambda}$ dejando $j*k=\bigcup_{\alpha<\lambda}j(k|_{V_{\alpha}})$ . Entonces $(\mathcal{E}_{\lambda},*)$ satisface la identidad de autodistributividad $j*(k*l)=(j*k)*(j*l)$ . Si $\gamma$ es un ordinal límite con $\gamma<\lambda$ entonces defina una congruencia $\equiv^{\gamma}$ en $(\mathcal{E}_{\lambda},*)$ dejando $j\equiv^{\gamma}k$ sólo si $j(x)\cap V_{\gamma}=k(x)\cap V_{\gamma}$ siempre que $x\in V_{\gamma}$ . Entonces mi pregunta y respuesta muestra que el álgebra $(\mathcal{E}_{\lambda}/\equiv^{\gamma},*)$ es localmente finito y, por tanto, localmente computable.

En general, los criptosistemas basados en grupos no abelianos pueden modificarse para producir criptosistemas que podrían utilizar cualquier álgebra distributiva izquierda como plataforma. Por ejemplo, en este documento los autores han modificado el Anshel-Anshel-Goldfeld para producir un criptosistema que pudiera utilizar cualquier álgebra distributiva izquierda como plataforma. Además, el intercambio de claves de Ko-Lee también podría modificarse para producir un criptosistema para álgebras distributivas izquierdas. En este artículo, Uso de la conjugación desplazada en la criptografía basada en trenzas Dehornoy propone un esquema de autenticación que puede utilizar cualquier álgebra autodistributiva como plataforma (aunque hay que modificar este criptosistema si el álgebra autodistributiva no es cancelativa a la izquierda) en lugar de la conjugación de grupos (Dehornoy tenía en mente la conjugación de grupos trenzados con plataforma desplazada, pero más tarde se demostró que esta plataforma no era la adecuada). inseguro ).

Dehornoy en 4 señala que la complejidad combinatoria de las tablas de Laver y el hecho de que las tablas de Laver clásicas produzcan funciones de crecimiento extremadamente rápido sugiere que las tablas de Laver clásicas o estructuras similares pueden ser una buena plataforma para su esquema de autenticación o algún otro criptosistema. Sin embargo, las tablas de Laver clásicas son actualmente una plataforma muy insegura para todos los criptosistemas. En primer lugar, $A_{48}$ es la mayor tabla de Laver clásica que se ha calculado. Por lo tanto, los criptosistemas basados en la tabla Laver clásica sólo proporcionan como máximo 48 bits de seguridad. Además, los homomorfismos entre las tablas de Laver clásicas permiten escribir fácilmente programas informáticos que rompen todos los criptosistemas basados en las tablas de Laver clásicas. Mis tablas de Laver generalizadas que puede calcular en línea aquí tampoco son una plataforma segura para criptosistemas basados en álgebra autodistributiva, ya que es fácil factorizar elementos en tablas de Laver generalizadas. Afortunadamente, a menos que simplemente haya pasado algo por alto, las tablas ternarias de Laver parecen ser hasta ahora plataformas plausibles para estos criptosistemas basados en álgebra autodistributiva. Haga clic aquí para ver una calculadora de la tabla ternaria de Laver en mi sitio web.

Por supuesto, es demasiado pronto para opinar sobre la seguridad o la inseguridad de estos criptosistemas basados en la tabla ternaria de Laver, y es necesario investigar mucho más sobre la criptografía basada en el álgebra de Laver. Esta línea de investigación apenas se ha investigado, pero recientemente he propuesto una proyecto polímata promover una investigación en estas direcciones.

Answer 5

En realidad, si se piensa un poco más, "matemáticas aplicadas" ha significado tradicionalmente ecuaciones diferenciales, como las que se utilizan en (digamos) ingeniería mecánica o aeronáutica. Pero si nos atenemos a su despliegue en aplicaciones del mundo real, por supuesto puede incluir mucho álgebra y lógica (pensemos en la teoría de grupos en cristalografía o en la comprobación de modelos en la verificación de hardware informático).

En concreto, los comprobadores formales de teoremas (asistentes de pruebas) se utilizan en la verificación de hardware y software, como en la comprobación de la correcta aritmética de los diseños de CPU desde el famoso fallo FDIV del Pentium. HOL Light es un ejemplo de este tipo de programas de verificación. Usted escribe su programa en forma de prueba y HOL Light comprueba la prueba. Pero HOL Light es en sí mismo un programa complicado, sujeto a errores e inconsistencias, por lo que se necesita una prueba de la corrección del verificador de pruebas y de la consistencia de su lógica subyacente (es decir, que nunca acepte una prueba "falsa") antes de poder confiar en él. Según el segundo teorema de incompletitud de Gödel, HOL Light no puede demostrar su propia consistencia: hay que utilizar una versión aumentada con un axioma adicional para demostrar la consistencia de la versión no aumentada.

El axioma adicional utilizado es "existe un cardinal inaccesible K". Entonces, por supuesto $V_K$ es un modelo de la teoría y el verificador puede comprobarlo.

Por tanto, existe un uso de los cardinales grandes en matemáticas aplicadas.

Creo que he visto otras descripciones de lo anterior, y algo parecido para Coq. Estoy teniendo problemas para encontrar mucho, pero hay al menos una mención de la cuestión aquí: http://www.cs.ru.nl/~freek/notas/pcpc.pdf