Casi Un Vector Paquete

Question

Estoy tratando de conseguir algo de intuición para que el vector de paquetes. ¿Alguien tiene buenos ejemplos de construcciones que son no vector de paquetes para algunos no trivial de la razón. Idealmente quiero poner a prueba a mí misma para ver algunos de los difíciles/patológicos espacios donde mi ingenuo intuición falla mí!

Disculpas si este no está especialmente bien definido pregunta - esperamos que sea lo suficientemente clara como para solicitar algunas respuestas útiles!

Answer 1

Fix $ B = (-1,1) $ a ser la base de espacio, y para cada punto de $ b $$ B $, adjuntar el espacio vectorial de fibra de $ \mathcal{F}_{b} \stackrel{\text{def}}{=} \{ b \} \times \mathbb{R} $. De este modo, obtener un trivial $ 1 $-dimensiones del vector paquete de más de $ B $, es decir,$ B \times \mathbb{R} $. A continuación, defina una fibra de la preservación de vector-paquete de mapa de $ \phi: B \times \mathbb{R} \rightarrow B \times \mathbb{R} $ como sigue: $$ \forall (b,r) \in B \times \mathbb{R}: \quad \phi(b,r) \stackrel{\text{def}}{=} (b,br). $$ Consideremos ahora el kernel $ \ker(\phi) $$ \phi $. Para cada una de las $ b \in B $, vamos a $ \phi_{b}: \mathcal{F}_{b} \rightarrow \mathcal{F}_{b} $ denotar la restricción de $ \phi $ a la fibra,$ \mathcal{F}_{b} $. A continuación, $ \ker(\phi_{b}) $ $ 0 $- dimensiones para todas las $ b \in (-1,1) \setminus \{ 0 \} $ pero es $ 1 $-dimensiones para $ b = 0 $. Por lo tanto, $ \ker(\phi) $ no tiene un local de la trivialización en $ b = 0 $, lo que significa que no es un vector paquete.

En general, si $ f: \xi \rightarrow \eta $ es un mapa entre el vector paquetes de $ \xi $$ \eta $, $ \ker(f) $ es un sub-paquete de $ \xi $ si y sólo si las dimensiones de las fibras de $ \ker(f) $ son localmente constante. También es cierto que $ \text{im}(f) $ es un sub-paquete de $ \eta $ si y sólo si las dimensiones de las fibras de $ \text{im}(f) $ son localmente constante.

La moraleja de la historia es que, aunque algo puede ver como un vector paquete en virtud de tener un espacio vectorial adjunta a cada punto de la base del espacio, puede no ser un vector paquete en la final, porque el local de la trivialización de la propiedad no está satisfecho en algún momento. Desea que las dimensiones de las fibras para permanecer localmente constante; no quieres saltar.

Richard G. Swan tiene un hermoso libro titulado Vector de Paquetes y Módulos Proyectivos (Transacciones de la A. M. S., Vol. 105, Nº 2, Nov. 1962) que contiene los resultados que podrían ser de interés para usted.

Answer 2

Aquí hay dos maneras en que uno puede romper la definición de un vector paquete.

Si uno es complicado, se podría definir un haz de fibras con fibra de $\Bbb{R}^n$ que no un vector paquete, si la estructura de grupo no es lineal. Por ejemplo, usted podría bundle $\Bbb{R}$ sobre el círculo, pero definir gráficos en un conjunto abierto de la cubierta, tales que la transición de la función de enviaría $(s,r)\in S^1\times\Bbb{R}$ $(s,r^3)$- en general, llevar a los no lineales homeomorphism de la fibra a sí mismo. Este ejemplo en particular no podrían calificar como no-trivial, pero no sé muy legítimos de los casos de este.

Algo quizá un poco más interesante: la condición de que la fibra de un (o de fibra) vector paquete de ser constante a lo largo de toda la base de que el espacio es bastante fuerte. En un manifold con frontera, se puede definir un degenerado tangente "paquete" que es sólo un medio de espacio, en el límite, que pueden ser muy útiles, pero no se puede considerar como un vector paquete.

Del mismo modo, si su casi-colector ha degenerado dimensión en algún lugar por alguna otra razón, como por ejemplo, $z=|x^3|$ incrustado en $\Bbb{R}^3,$ que es la unión de una superficie de dos componentes conectados con un $1$-colector, específicamente la línea de $x=z=0$. Usted podría construir algo parecido a un paquete como el de la unión de la tangente paquete en el $2$-D de la parte y las líneas perpendiculares tot $1$-D de la parte, y no sería un vector paquete.