¿Qué nos dicen los puntos de inflexión de una función sobre la integral de la función?

Question

Contexto:

Sea $f(x)$ sea un polinomio de grado $4$ con $2$ puntos de inflexión. Se traza una línea a través de los puntos de inflexión y se hacen tres regiones. ¿Qué deducción puedes hacer sobre estas regiones?

1. Dos regiones tienen la misma superficie;

2. El área de una es igual a la suma de las otras dos;

3. el área de uno es el doble de la suma de los otros dos;

4. El área de una región es el cuadrado de la suma de las otras dos;

Lo que ya he encontrado :

https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-5/a/behavior-of-antiderivative-of-f-from-graph-of-f

Este artículo dice que la función creciente sugiere una integral cóncava hacia arriba, pero no estoy seguro de si es lo que necesito para resolver este problema.

Answer 1

Sea nuestro cuártico $P(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e$ (podemos suponer después del escalado que el coeficiente de $x^4$ es $1$ ). Supongamos que añadimos un término lineal de la forma $ux+v$ para obtener $Q(x)=x^4+bx^3+cx^2+(d+u)x+(e+v)$ . Entonces el $x$ -las coordenadas de los puntos de inflexión no se modifican (porque $\frac{d^2}{dx^2}(ux+v)=0$ ), y las áreas de las tres regiones no cambian (porque el gráfico se ha transformado mediante una transformación de cizalladura vertical).

Pero ahora podemos elegir $u$ y $v$ para que $Q(x)=0$ en los dos puntos de inflexión.

Los puntos de inflexión de $P$ y $Q$ están en $x$ -coordenadas $$-\frac{b}{4}\pm\sqrt{9b^2-48c}$$ Ahora transformamos la gráfica desplazándola hacia la derecha, para obtener el polinomio

$$R(x)=Q(x-b/4)=x^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$$

Esta transformación conserva las formas de las tres regiones y, por tanto, sus áreas. Y sus puntos de inflexión se encuentran en $x$ -simétrico respecto al eje $y$ -Eje. $R(x)$ puede diferir de $P(x)$ en todos los términos excepto en el primero, pero las áreas de las tres regiones cortadas por la línea que une los puntos de inflexión no cambian.

Sus puntos de inflexión están en $$-\frac{B}{4}\pm\sqrt{9B^2-48C}$$ Pero estos puntos son simétricos respecto al $y$ -eje. Por lo tanto $B=0$ lo que significa que los puntos de inflexión son $(\pm\alpha,0)$ donde $\alpha=\sqrt{-48C}$ .

Y yacen en la curva $R(x)=0$ Así que $R(\alpha)=R(-\alpha)$ o

$$\alpha^4+C\alpha^2+D\alpha+E=\alpha^4+C\alpha^2-D\alpha+E$$

que nos da $D=0$ .

Así que ahora nos queda $R(x)=x^4+Cx^2+E$ que es simétrica respecto al $y$ -eje. Por lo tanto, la primera y la tercera región tienen la misma área.