Una variedad lisa cerrada no puede admitir involuciones libres si no tiene límites.

Question

He visto la siguiente declaración: Si una múltiple lisa cerrada no limita, entonces no puede admitir involuciones libres de punto fijo. Aquí una variedad $M$ significa que existe una variedad compacta $W^{n+1}$ tal que $\partial W=M$ . Estoy considerando el cobordismo desorientado.

Usando la característica de Euler y los grupos fundamentales puedo determinar cuando hay involución libre para algunas superficies pero no me hago a la idea.

Me gustaría ver pruebas de la afirmación anterior. No puedo demostrarlo.

Cualquier ayuda será muy útil.

Answer 1

Sea $M$ sea una $n$ -y $\tau: M\to M$ una involución libre de punto fijo. Mi argumento funciona en cualquiera de las categorías estándar: topológica, PL o lisa. Puesto que preguntas por variedades diferenciables, trabajaré en la categoría de lisas.

Definir el colector cociente $N=M/\tau$ . Sea $W\to N$ denotan el haz de intervalos asociado al mapa de cobertura $M\to N$ . Una forma de definirlo es como el cilindro cartográfico de la proyección $M\to N$ . Alternativamente, se puede definir de la siguiente manera: Consideremos el producto múltiple $E=M\times [-1,1]$ . El grupo ${\mathbb Z}_2$ actúa sobre $M\times [-1,1]$ : La acción sobre $M$ está generada por la involución $\tau$ la acción en el intervalo $[-1,1]$ está generada por la involución $t\mapsto -t$ . Esta acción sobre $E$ es libre y, por tanto, obtenemos el cociente-manifold (compacto) con límite $W=E/{\mathbb Z}_2$ . El colector $M$ se proyecta difeomórficamente a la frontera de $W$ , $M\cong \partial W$ y, por lo tanto, $M$ límites.