Derivación de la PMF de la distribución de Poisson a partir de su función característica

Question

Me encontré con una pregunta que pedía obtener la función de probabilidad de $X$ (una variable aleatoria discreta) con su función característica dada de la siguiente manera: $${\phi _X}(t) = {e^{\lambda ({e^{it}} - 1)}}$$

Sé que es la función característica de una distribución de Poisson. Entonces, $$X \sim Poi(\lambda )$$

Sin embargo, no he podido demostrarlo matemáticamente. Empecé a responder a esta pregunta de la siguiente manera: $$P(X = x) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{e^{ - itx}}{\phi _X}(t)dt} $$ $$ = \frac{1}{{2\pi }}{e^{ - \lambda }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{e^{ - itx}}{e^{\lambda {e^{it}}}}dt} $$

Pero después de este paso soy incapaz de averiguar cómo se evaluará la integral.

¿Puede alguien sugerirme cómo debo proceder después de este paso?

Gracias de antemano.

Answer 1

La fórmula que he utilizado (véase el ejercicio $26.12$ , Probabilidad y medida de Patrick Billingsley), similar a la célebre fórmula de inversión, es (la fórmula que diste puede derivarse de ella): $$P[X = a] = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^T e^{-ita}\phi_X(t) dt.$$ Observe que $\phi_X(t) = e^{-\lambda}\sum_{k = 0}^\infty\frac{\lambda^k e^{itk}}{k!}$ . Evaluar la integral por el teorema de Fubini \begin{align} & \int_{-T}^T e^{-ita}\phi_X(t) dt \\ = & \int_{-T}^T e^{-ita}e^{-\lambda}\sum_{k = 0}^\infty\frac{\lambda^k e^{itk}}{k!} dt \\ = & e^{-\lambda}\sum_{k = 0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}\int_{-T}^Te^{it(k - a)}dt \\ = & 2Te^{-\lambda}\frac{\lambda^a}{a!} + 2e^{-\lambda}\sum_{k \neq a}\frac{\lambda^k\sin[(k - a)T]}{k!(k - a)} \end{align} donde utilizamos que si $k = a$ entonces $\int_{-T}^T e^{it(k - a)} dt = 2T$ y si $k \neq a$ , $$\int_{-T}^T e^{it(k - a)} dt = 2\int_0^T \cos[(k - a)t] dt = \frac{2}{k - a}\sin[(k - a)T].$$ Obsérvese por el teorema de convergencia dominada, $$\lim_{T \to \infty}\frac{1}{2T}\sum_{k \neq a}\frac{\lambda^k\sin[(k - a)T]}{k!(k - a)} = \sum_{k \neq a}\lim_{T \to \infty}\frac{\lambda^k\sin[(k - a)T]}{2k!(k - a)T} = 0.$$ Por lo tanto, $P[X = a] = e^{-\lambda}\frac{\lambda^a}{a!}$ para $a = 0, 1, 2, \ldots$ la prueba está completa.

Answer 2

Dado cf ${\phi _X}(t) = {e^{\lambda ({e^{it}} - 1)}}$ derivar el pmf $P(X=x)$ ...

Hay una forma más sencilla. Para una variable aleatoria discreta $X$ tomando valores enteros no negativos, la cf $E[e^{i t X}]$ está relacionada con la función generadora de probabilidad pgf $E[s^{X}]$ vía $s = e^{i t}$ así que el pgf tiene forma:

$$\Pi(s) = E\left[s^X\right] = e^{\lambda (s-1)}$$

El pgf genera probabilidades a través de la relación:

$$P(X=x) \quad = \quad \frac{1}{x!}\frac{d^x\Pi(s)}{ds^x}|_{s=0} \quad \text{for} \quad x\in \{0,1,2,\ldots \}$$

En $n^{th}$ derivado de $e^{\lambda (s-1)}$ wrt $s$ tiene forma $\lambda ^n e^{\lambda (s-1)}$ y cuando $s = 0$ , este último tiene forma: $e^{-\lambda } \lambda ^n$ . Sustitución de $n$ con $x$ el pmf es así:

$$P(X=x) = \frac{e^{-\lambda } \lambda ^x}{x!} \quad \text{for} \quad x\in \{0,1,2,\ldots \}$$