Relacionar dos nociones de realización geométrica

Question

Sea $K$ sea un complejo simplicial abstracto en el conjunto (finito) de vértices $V$ . La realización geométrica $|K|$ se define típicamente (véase, por ejemplo, el libro de Spanier) como la colección de funciones $\alpha:V \to \mathbb{R}$ de modo que ( a ) el soporte de cada $\alpha$ es un simplex, y ( b ) la suma $\sum_{v \in V}\alpha(v)$ es igual a $1$ . Ahora bien, cada simplex (cerrado) $\sigma$ se realiza como la colección de $\alpha \in K$ para que $\alpha(v) \neq 0$ implica $v \in \sigma$ . A partir de esto se conoce la estrella de cada simplex.

Una aproximación simplicial de $f:|K| \to |L|$ es un mapa simplicial $g:K \to L$ para que $f(\text{star }\sigma) \subset \text{star }g(\sigma)$ para cada simplex $\sigma \in K$ . Es un resultado estándar que el mapa Piecewise Linear inducido por $g$ es homotópicamente equivalente a $f$

Consideremos ahora el caso en que $K$ no es abstracto, sino $V$ es una cubierta abierta de algún espacio topológico $X$ . Así, cada simplex corresponde a un espacio topológico real, es decir, una intersección no vacía de algunos conjuntos abiertos finitos en $X$ . Llamemos a esto $X_\sigma$ .

Mi pregunta es la siguiente:

¿Cuál es la relación entre $|K|$ y $X$ más concretamente entre $|\sigma|$ y $X_\sigma$ para cada simplex $\sigma \in K$ ?

Aquí tiene una idea del tipo de respuesta que espero:

En caso de que $X$ es paracompacta y $V$ es una cubierta contráctil, se aplica el teorema del nervio y sé que $X$ y $|K|$ son homotópicamente equivalentes. Pero, ¿existe una relación más general entre estas dos nociones de realización de la que el teorema del Nervio sea una consecuencia?

Además, ¿existe alguna functorialidad en el teorema del nervio? Es decir, supongamos que nos dan coberturas contractibles $U$ y $V$ de $X$ y $Y$ generar los nervios $K$ y $L$ . Dada una función $f : X \to Y$ y un mapa simplicial $g:K \to L$ ¿existe algún análogo mágico de la condición de estrella como $f(X_\sigma) \subset Y_{g(\sigma)}$ que hace $g$ inducen un mapa homotópicamente equivalente al compuesto $|K| \to X \to Y \to |L|$ donde los mapas del borde proceden del teorema del nervio y el mapa del centro es $f$ ?

Answer 1

En relación con

¿Cuál es la relación entre $|K|$ y $X$ más concretamente entre $|\sigma|$ y $X_\sigma$ para cada simplex $\sigma \in K$ ?

Me parece que se puede construir un espacio intermedio $Y$ y un diagrama $$ |K| \leftarrow Y \rightarrow X $$ que es natural tanto en la cubierta como en $X$ (donde si tenemos un mapa $X\to X'$ la cubierta para $X$ debe ser la imagen inversa de la cobertura para $X'$ ). El espacio $Y$ viene dado por la realización del nervio del poset topológico $\cal P$ cuyos elementos son pares $(U,x)$ en el que $U$ es una colección finita de intersección de conjuntos abiertos en la cobertura $V$ y $x$ es un punto de $U$ .

Luego hay mapas olvidadizos $Y \to |K|$ así como $Y \to X$ .

Para comprobarlo, observe que $X$ puede considerarse como una categoría topológica (o poset) cuyos objetos son puntos de $X$ y sólo morfismos de identidad. Entonces ${\cal P} \to X$ es sólo el functor olvido e induce el mapa $Y \to X$ en la realización (la realización de $X$ cuando se considera como un poset topológico es $X$ como espacio). También existe un functor olvidadizo de ${\cal P}$ al nervio del recubrimiento que induce el mapa $Y \to |K|$ .

Si toda intersección finita no vacía de miembros de $V$ es contractible, entonces los mapas $Y \to |K|$ , $Y \to X$ son equivalencias débiles.