Demuestre que este método Runge-Kutta es de orden 3

Question

Nos han pedido que demostremos que el siguiente método Runge-Kutta es de orden 3

$y_{i+1} = y_i + \frac{K_1}{4} + \frac{3K_3}{4}$

con

$K_1 = h \times f(x_i,y_i)$

$K_2 = h \times f(x_i + \tfrac{h}{3}, y_i + \tfrac{K1}{3})$

$K_3 = h \times f(x_i + \tfrac{2h}{3}, y_i + \tfrac{2K_2}{3})$

Tenemos ideas a partir de esta respuesta - Determinación del orden Runge-Kutta - pero nos cuesta aplicar nuestro sistema a este método.

Gracias

Answer 1

Según el hombre que da nombre a las mesas Butcher (ver estas diapositivas ), las condiciones para el orden 3 son \begin{align} b_1+b_2+b_3&=1\\ b_2c_2+b_3c_3&=\frac12\\ b_2c_2^2+b_3c_3^2&=\frac13\\ \text{and}\quad b_3a_{32}c_2=\frac16 \end{align} que da $$b_2c_2(c_3-c_2)=\frac12c_3-\frac13$$ que para $c_2=\frac13$ y $c_3=\frac23$ resulta en $b_2=0$ y $b_3=\frac34$ que finalmente tiene $b_1=\frac14$ , $a_{32}=\frac23$ , $a_{31}=0$ .

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Se trata de (el) método de Heun de tercer orden, ya que el tipo de método que Karl Heun (1900) consideraba se basaba en combinar iteraciones de pendiente de la forma $Δ^m_\nu y = f(x+ε^m_\nuΔx,y+ε^m_\nuΔ^{m+1}_\nu y)Δx$ , $m=0,...,s_\nu$ con $ε^{s_\nu}_\nu=0$ en una actualización final $Δy=\sum \alpha_\nuΔ^0_\nu y$ . Este método de tercer orden Heun, p. 30 dio como

und hieraus resultiert die für die $$ IV)\quad\left\{\begin{aligned} Δy &= \frac14\left\{f(x,y)+3f\left(x+\frac23Δx,y+Δ'y\right)\right\}\cdotΔx\\ Δ'y &= \frac23f\left(x+\frac13Δx,y+\frac13f\cdotΔx\right)\cdotΔx \end{aligned}\right. $$