Conjuntos completamente separados en un espacio de Tychonoff

Question

Si $X$ es un espacio de Tychonoff y $f_1,f_2$ son dos funciones continuas de valor real sobre $X$ . Si $A$ y $B$ son dos conjuntos completamente separados en $X$ ¿Podemos encontrar un $g\in C(X)$ tal que $g(x)=f_1(x)$ para todos $x\in A$ y $g(x)=f_2(x)$ para todos $x\in B$ ?

Answer 1

Desde $A$ y $B$ están completamente separadas, existe una función continua $p$ tal que $p(x)=1$ en $A$ y $p(x)=0$ en $B$ .

Déjalo, $g(x)=p(x)f_1(x)+(1-p(x))f_2(x)$ entonces, para todo $x\in A$ , $g(x)=f_1(x)$ y $g(x)=f_2(x)$ en $B$ .

Funciones $f_1$ , $f_2$ y $p$ son continuas, por lo que $g \in C(X)$ .

Por lo tanto, dicha función $g$ existe.