¿Es proyectiva una variedad compleja sólo porque su ensanchamiento en un punto lo es?

Question

Consideremos una variedad compleja compacta conexa $X$ de dimensión $n$ . Siegel demostró en 1955 que su campo de funciones meromorfas $\mathcal M (X)$ tiene grado de trascendencia sobre $\mathbb C$ como máximo $n$ . Moishezon estudió aquellas variedades complejas para las que el grado es $n$ y, en consecuencia, estas variedades se denominan ahora variedades de Moishezon.

En dimensión 2, toda superficie de Moishezon es algebraica proyectiva según un teorema de Chow-Kodaira demostrado en 1952, mucho antes de que Moishezon introdujera formalmente su concepto. Sin embargo, en dimensiones 3 y superiores, existen variedades de Moishezon no proyectivas (se puede ver un ejemplo en el libro de Shafarevich Geometría algebraica básica ).

No obstante, un colector de Moishezon $X$ es próximo a proyectivo: El principal resultado de Moishezon es que tras un número finito de ampliaciones con centros suaves, $X$ se convierte en algebraico proyectivo. Por lo tanto, si una ampliación de $X$ es proyectiva, no se puede deducir que $X$ era proyectivo. Sin embargo, este resultado principal no dice nada acerca de las dimensiones de las variedades que explotar. He oído decir que si sólo se amplía un punto, no se puede pasar de una variedad no proyectiva a una proyectiva, pero no he podido obtener ni una referencia precisa ni una prueba. De ahí mi pregunta :

Si una variedad compleja compacta se convierte en algebraica proyectiva después de volar un punto, ¿ya era algebraica proyectiva?

Answer 1

Tal vez funcione el siguiente argumento. (Aunque es muy posible que un cartel se haya equivocado en alguna parte).

Sea $\pi: Y \rightarrow X$ sea el reventón. Por suposición $Y$ es proyectivo, por lo que lleva un haz de líneas amplio $A$ digamos. Dejemos que $E$ denota el divisor excepcional de la explosión, y considera haces de líneas de la forma $A+nE$ (para números enteros positivos $n$ ). Si $C$ es cualquier curva en $Y$ que no figura en $E$ entonces $(A+nE).C = A.C + nE.C$ es positivo, para cualquier $n$ . Por otra parte, dejemos que $L$ sea una línea en $E$ : entonces $E.L = -1$ . (Obsérvese que todas las demás curvas de $E$ son múltiplos numéricos de ésta). Así, si fijamos $n=A.L$ (positivo, por amplitud de $A$ ) entonces tenemos $(A+nE).L = 0$ . Así que el haz de líneas $A+nE$ es nef, y tiene grado $0$ exactamente en las curvas que se encuentran en $E$ .

Afirmo que $A+nE$ no tiene base. Para ver esto, basta (por el Teorema del punto base libre, ver por ejemplo Kollár--Mori Capítulo 3) mostrar que el haz de líneas $m(A+nE)-K_Y$ es nef y grande, para algún entero positivo $m$ . Ahora $A$ es amplio y $E$ es eficaz, por lo que $A+nE$ es grande para todos los positivos $n$ (amplio + eficaz = grande --- también en kollár--mori). Además, la grandeza es una condición abierta, así que para $m$ suficientemente grande, $m(A+nE)-K_Y$ sigue siendo grande. Así que queda por demostrar nefness.

Recordemos que éramos libres de elegir $A$ para ser cualquier haz de líneas amplio, así que elíjalo para satisfacer la condición de que $A-K_Y$ es a su vez amplia (de nuevo, utilizando el hecho de que la amplitud es abierta). Entonces $m(A+nE)-K_Y = (mA-K_Y) +mnE$ por lo que, en particular, tiene grado positivo en cualquier curva $C$ que no figura en $E$ . Por otra parte otra parte, si $L$ es una línea en $E$ entonces $(m(A+nE)-K_Y).L = -K_Y.L$ (según los cálculos del primer párrafo). Además, $-K_Y=\pi^\ast(-K_X)-(\dim X-1)E$ Así que $-K_Y.L=-(\dim X-1)E.L > 0$ . Así que $m(A+nE)-K_Y$ tiene grado no negativo en todas las curvas, es decir, es nef.

Juntando todo esto, tenemos que $m(A+nE)$ no tiene base para números enteros positivos adecuados $m$ y $n$ . Por tanto, define un morfismo de contracción $p: Y \rightarrow Z$ a otra variedad proyectiva $Z$ . Pero el morfismo $p$ contrata exactamente las curvas en las que $A+nE$ tiene grado $0$ que por construcción son exactamente las curvas contenidas en $E$ . Por lo tanto $Z$ es exactamente la reducción de $E$ a un punto, por tanto isomorfo a $X$ . Desde $Z$ es proyectiva, también lo es $X$ .

Answer 2

Hay un mazo disponible para esta tuerca en particular: Los resultados de Mori sobre rayos extremos, en su artículo (¿Anales 1979?) sobre variedades proyectivas lisas. $Y$ où $K_Y$ no es nef: si $Y=Bl_PX$ con divisor excepcional $E$ entonces cualquier línea de $E$ abarcará un rayo extremo y entonces puede contraerse en la categoría de variedades proyectivas. Dado que todas las curvas en $E$ se encuentran en el mismo rayo, $E$ debe contraerse a un punto, por lo que el resultado de la contracción debe ser $Y$ .

Answer 3

¿Puede alguien decirme si hay algo mal en el siguiente razonamiento?

Si nos ceñimos a la notación de la respuesta anterior, digamos que $A$ sea un divisor amplio en $Y$ . Entonces podemos escribir $A \sim \pi^*D - kE$ para algún divisor $D$ en $X$ . Desde $A \cdot l>0$ , $\pi^*D \cdot l =0$ y $E \cdot l =-1$ debemos tener $k>0$ . De hecho, podemos tomar $k=1$ ya que para cualquier curva $C$ en $Y$ no contenida en $E$ , $(\pi^*D-kE)\cdot C \leq (\pi^*D-E)\cdot C$ porque $E\cdot C \geq 0$ y todavía tenemos $(\pi^*D-E)\cdot l =1$ . Así que toma $A \sim \pi^*D -E$ para ser nuestro divisor amplio en $Y$ . Por el criterio de Seshadri, existe un $0< \epsilon <1$ tal que para cualquier curva $C'$ en $Y$ , $A \cdot C' \geq \epsilon ~ m(C')$ donde $m(C')=sup_{q \in C'} m_q(C')$ es la multiplicidad de la curva.

Ahora dejemos que $C$ cualquier curva en $X$ y denotamos por $C'$ su transformación estricta bajo la explosión. Si $C$ no pasa por el centro $p \in X$ entonces $C' \cong C$ y $C'$ no cumple $E$ Así que $E \cdot C' =0$ . Entonces $A \cdot C' = \pi^*D \cdot C' = D \cdot C \geq \epsilon ~ m(C') = \epsilon ~ m(C)$ .

Si $C$ pasa a través de $p$ con multiplicidad $m$ entonces $E \cdot C' =m$ y tenemos $A \cdot C' = \pi^*D \cdot C' -E \cdot C' = D \cdot C - m \geq \epsilon ~ m(C')$ . Pero esto significa que $D \cdot C \geq \epsilon ~ m(C') + m \geq \epsilon ~ m(C)$ . Por lo tanto $D$ es amplio en $X$ por el criterio de Seshadri (que sigue siendo válido en esquemas completos no proyectivos), de modo que $X$ es proyectiva.

El problema es que no sé muy bien dónde estoy utilizando la suavidad de $X$ ya que la ampliación de puntos en una superficie (singular) no proyectiva hará que la ampliación sea proyectiva. (Tal vez en la primera línea donde se supone que $Pic(Y) \cong Pic(X) \oplus \mathbb Z$ .) En cualquier caso, la respuesta anterior (y ésta si es correcta) da una prueba rápida del teorema de Chow-Kodaira, que dice que toda superficie algebraica completa lisa debe ser proyectiva.

Espero que la afirmación se cumpla para las variedades algebraicas completas singulares de dimensión $\geq 3$ . Es decir, si $X$ es cualquier variedad algebraica completa de dimensión $\geq 3$ entonces $X$ es proyectivo si y sólo si $Bl_p(X)$ es proyectiva.