Una clase de integrales de Ito

Question

Actualmente estoy trabajando en procesos estocásticos y me he encontrado con un escollo en la integral de Ito

$$\int_{t_0}^tdt'G(t')[dW(t')]^\alpha$$

con $\alpha\in\mathbb{R}$ y $\alpha>0$ . El resultado de los libros de texto se da para el número entero $\alpha$ pero no en el caso más general de que no pudiera existir. Por supuesto, también algunas buenas referencias son bienvenidos.

Answer 1

Se puede demostrar que $[dW(t)]^\alpha=0$ con $\alpha\in\mathbb{R}$ y $\alpha\ge 3$ generalizando el caso de los números enteros.

Consideremos la ecuación diferencial estocástica $dX(t)=[dW(t)]^\alpha$ con $\alpha>0$ . Podemos escribir la solución en la forma $X(t)=X(t_0)+\int_{t_0}^t[dW(t)]^\alpha$ con la integral en el sentido de Ito. Entonces, tenemos que evaluar esta integral con la suma \begin{equation} S_n=\sum_{k=1}^n[W(t_k)-W(t_{k-1})]^\alpha. \end{equation} La potencia del proceso browniano puede evaluarse de la siguiente manera \begin{equation} [W(t_k)-W(t_{k-1})]^\alpha = [(1+W(t_k)+W(t_{k-1}))-1]^\alpha= \end{equation} \begin{equation} (-1)^\alpha\sum_{l_1=0}^\infty\left(\begin{array}{c} \alpha \\ l_1 \end{array}\right)(-1)^{l_1}(1+W(t_k)+W(t_{k-1}))^{l_1} = \fin{ecuación} \begin{equation} (-1)^\alpha\sum_{l_1=0}^\infty\sum_{l_2=0}^\infty\left(\begin{array}{c} \alpha \\ l_1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} l_1 \\ l_2 \end{array}\right)(-1)^{l_1} [W(t_k)-W(t_{k-1})]^{l_2} \end{ecuación} siempre que $|W(t_k)-W(t_{k-1})|<1$ . Ahora, podemos utilizar el cálculo estocástico para eliminar las potencias superiores a 2 y es fácil ver que \begin{equation} S_n=(-1)^\alpha\sum_{k=1}^n\sum_{l_1=0}^\infty\left(\begin{array}{c} \alpha \\ l_1 \end{array}\right)(-1)^{l_1} - (-1)^\alpha\sum_{l_1=0}^\infty\left( \begin{array}{c} \alpha \\ l_1 \end{array}\right)l_1(-1)^{l_1}\sum_{k=1}^n[W(t_k)-W(t_{k-1} )]+ \end{ecuación} \begin{equation} (-1)^\alpha\sum_{l_1=0}^\infty\left(\begin{array}{c} \alpha \\ l_1 \end{array}\right)\frac{l_1(l_1-1)}{2}(-1)^{l_1} \sum_{k=1}^n[W(t_k)-W(t_{k-1})]^2. \fin{ecuación} Por lo tanto, tenemos la expansión requerida con coeficientes \begin{eqnarray} \mu_0&=&\sum_{l_1=0}^\infty\left(\begin{array}{c} \alpha \\ l_1 \end{array}\right)(-1)^{l_1} \ \mu_1&=&\sum_{l_1=0}^\infty\left( \begin{array}{c} \alpha \\ l_1 \end{array}\right)l_1(-1)^{l_1} \nonumber \\ \mu_2&=&\sum_{l_1=0}^\infty\left( \begin{array}{c} \alpha \\ l_1 \end{array}\right)\frac{l_1(l_1-1)}{2}(-1)^{l_1} \end{eqnarray} Ahora vemos inmediatamente que $\mu_0=\left.(1-x)^\alpha\right|_{x=1}=0$ . Además, obtenemos inmediatamente el resultado de que, para cualquier real $\alpha\ge 3$ tenemos de nuevo $[dW(t)]^\alpha=0$ ya que en este caso los coeficientes son todos cero cuando $\mu_1$ y $\mu_2$ se evalúan mediante la suma de Abel. Por último, cuando $0<\alpha<1$ ambos coeficientes $\mu_1$ y $\mu_2$ son divergentes y quizá no se les pueda atribuir ningún significado (estoy pensando en series divergentes sumables, cualquier sugerencia será muy apreciada).