¿Es éste un argumento válido para las dimensiones de esta integral?

Question

Dada la integral:

$I = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n}e^{-\alpha x^2} dx$

Si digo que si:

$$[I] = [L]^{2n+1}$$

Y las dimensiones de alfa deben ser $\frac{1}{[L]^2}$ ya que el exponente debe ser adimensional

Entonces la integral debe escalar con $[\alpha]^{-n+1}$ desde

$$[\alpha] = [x]^{-2}=[L]^{-2}$$ $$[\alpha]^{-n} = [L]^{2n}$$ $$[\alpha]^{-n+1} = [L]^{2n+1}$$ $$[\alpha]^{-n+1} = [I]$$

pero si hago u sustitución, entonces obtengo algo como:

$$\int_{-\infty}^{\infty} x^{2n}e^{-\alpha x^2} dx $$ $$= \int_{-\infty}^{\infty} x x^{2n-1}e^{-\alpha x^2} dx$$

usando:

$$u = -\alpha x^2$$ $$du = -2\alpha x dx$$

Me sale:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{-2 \alpha} \left(\sqrt{\frac{-u}{\alpha}}\right)^{2n-1}e^{u} du$$

edit: corregido error de álgebra abajo:

por lo que la integral es proporcional a

$$\alpha^{-1}(\alpha^{-1/2})^{2n-1} = \alpha^{-n-\frac{1}{2}}$$

¿Hay algún problema con el primer método? ¿Cómo se deduce cómo varía la integral con alfa a partir del análisis dimensional sin u sustitución aquí?

Answer 1

El problema es que estás tratando las unidades $[\alpha]$ et $[L]$ como "variables" equivalentes, cuando no lo son. Por ejemplo, digamos que las unidades de $[L]$ son metros y las unidades de $[\alpha]$ son algo, digamos $a$ . Entonces: $$1\space a=1\space m^{-2}$$ $$1\space a^2=1\space m^{-4}$$ $$1\space a^3=1\space m^{-6}$$

Como puede ver, añadir $1$ a las unidades de $\alpha$ resta $2$ de las unidades de $L$ . Pero al llegar a la línea $[\alpha]^{-n+1}=[L]^{2n+1}$ hiciste algo parecido añadiendo uno a ambos lados.

Para relacionar esto con el álgebra normal sin pensar en unidades, es similar a decir si $x^2 = y$ entonces $x^3=y^2$ lo que no es el caso. Lo correcto es $x^3=xy=y^{3/2}$

Por lo tanto, vemos que para cada $1$ añadimos al exponente de $[\alpha]$ debemos restar $2$ al exponente de $[L]$ . Esta es la solución que necesitamos. Excepto que queremos restar $1/2$ de $[\alpha]$ y, a continuación, añadir $1$ à $[L]$ . Esto es esencialmente lo mismo que decir "multiplica ambos lados por $[\alpha]^{-1/2}$ "o "multiplicar ambos lados por $[L]$ "y, a continuación, utilizando la relación $[\alpha]=[L]^{-2}$ que sólo se ocupe de $[\alpha]$ o $[L]$ en cada lado correspondiente.

$$[\alpha]^{-n}=[L]^{2n}$$ $$[\alpha]^{-n-1/2}=[L]^{2n+1}=[I]$$

Tu trabajo al final de tu pregunta llega exactamente a esta conclusión.