El libro QFT de Mark Srednicki presenta una regularización de la $\delta$ en el cálculo de la anomalía quiral (véase la sección 77 del libro). Esta regularización es la siguiente \begin{equation} \delta (x-y)=\lim_{M \rightarrow \infty}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} e^{(i\gamma ^{\mu}D_{\mu})^2/M^2}\circ e^{-ik(x-y)}, \end{equation} donde $D_{\mu}=\partial_{\mu}-igA_{\mu}$ .
Ahora estoy intentando aplicar este método para calcular la anomalía quiral de un fermión sin masa en un campo gravitatorio pero sin campo gauge. La acción en el campo gravitatorio es \begin{equation} S=\int d^4x \sqrt{g}\bar{\Psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\Psi, \end{equation} donde $D_{\mu}$ ahora es $\partial_{\mu}+\frac{1}{2}\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$ . Bajo una transformación quiral \begin{equation} \Psi'(x)=e^{-i\alpha(x)\gamma^5}\Psi(x)=\int d^4y ~\delta(x-y)e^{-i\alpha(y)\gamma^5}\Psi(y), \end{equation} se obtiene el desplazamiento de la medida integral de la trayectoria: \begin{equation} \mathcal{D \Psi'}\mathcal{D}{\bar{\Psi}'}=\mathcal{D \Psi}\mathcal{D}{\bar{\Psi}}\exp\bigg\{2i\int d^4x \alpha(x) Tr[\delta (x-x) \gamma^5]\bigg\}. \end{equation} En este paso, todavía regularizo $\delta$ como \begin{equation} \begin{aligned} \delta (x-y)&=\lim_{M \rightarrow \infty}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} e^{(i\gamma ^{\mu}D_{\mu})^2/M^2}\circ e^{-ik(x-y)}\\ &=\lim_{M \rightarrow \infty}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{-ik(x-y)}\circ e^{-(\gamma ^{\mu}D_{\mu}-ik_{\mu}\gamma^{\mu})^2/M^2}. \end{aligned} \end{equation} Podemos expandir el cuadrado como \begin{equation} (\gamma ^{\mu}D_{\mu}-ik_{\mu}\gamma^{\mu})^2=\frac{1}{\sqrt{g}}D_{\mu}\sqrt{g}g^{\mu \nu}D_{\nu}-\frac{R}{4}+\{\gamma ^{\mu}D_{\mu},-ik_{\mu}\gamma^{\mu}\}-k^2. \end{equation} Aquí, no puedo continuar. ¿Podría alguien corregirme? Ya sé que el resultado es una expresión cuadrática en términos del tensor de Riemann y su dual. Así que supongo que el cuadrado debe producir algo como $[D_{\mu},D_{\nu}]=R^{ab}_{\mu \nu}\sigma_{ab}/2$ junto con el $\gamma^5$ puesto en la traza, se puede recuperar el resultado.
