¿Son las compactificaciones de un punto topológicamente invariantes?

Question

Más concretamente: ¿son compactificaciones de un punto $X^+$ et $Y^+$ de espacios Hausdorff homeomórficos localmente compactos $X$ et $Y$ ¿otra vez homeomórfico?

Se agradece,

Aris

Answer 1

Pista:

Fijar un homeomorfismo $f\colon X\to Y$ . Hay exactamente una manera de ampliarlo a $X^+$ et $Y^+$ . Recordemos que $U\subseteq X^+$ es abierto si y sólo si $U\subseteq X$ está abierto, o $X\setminus U$ es compacto, y análogamente para subconjuntos abiertos de $Y^+$ .

Demostrar que en ambos casos la imagen de un conjunto abierto es abierta, y la preimagen de un conjunto abierto es abierta.

Answer 2

Sea $f:X\to Y$ sea el homeomorfismo entre los dos espacios de Hausdorff localmente compactos. Dado que $f$ es propio (las preimágenes de conjuntos compactos vuelven a ser compactas), puede extenderse a un mapa continuo $f^+:X^+\to Y^+$ enviando $\infty_X$ à $\infty_Y$ . Pero lo mismo ocurre con su inversa $g:Y\to X$ . Ahora claramente $g^+\circ f^+=Id_{X^+}$ et $f^+\circ g^+=Id_{Y^+}$ .