Aproximación de una función por otra mediante una función multiplicadora suave

Question

Este problema es del Libro, Análisis Armónico de Katznelson (Problema 2, Página 160).

Supongamos que $f$ , $g\in L^2(\mathbb{R})$ tal que $f(x) = 0$ implica $g(x)=0$ para casi todos $x\in\mathbb{R}$ . A continuación, demuestre que para $\epsilon >0$ existe una variable dos veces diferenciable con soporte compacto $\phi$ tal que $\|\phi f - g\|_{L^2(\mathbb{R})}< \epsilon$ .

Se aceptan sugerencias e indicaciones.

Answer 1

Notación: la transformada de Fourier de un Sch $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ i $$\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}f(y)e^{-2\pi i\xi y}dy,\quad\xi\in\mathbb{R}$$ y la transformada de Fourier en $L^{2}$ es la extensión única de este operador. La transformada inversa de Fourier es se define de forma análoga y se denota por $f^{\vee}$ W $\tau^{y}$ donde $h\in\mathbb{R}$ , $(\tau^{y}g)(x)=g(x-y)$ . Denotamos la medida de Lebsgue sobre $\mathbb{R}$ por $\left|\cdot\right|$ .

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Sea $f\in L^{2}(\mathbb{R})$ y que $E:=\text{supp}(\widehat{f})=\left\{\xi\in\mathbb{R}:\widehat{f}(\xi)=0\right\}$ . Aquí, estamos eligiendo $f$ como elemento representativo de su $L^{2}$ clase de equivalencia o considerando la clase de equivalencia de $E$ modulo conjuntos nulos. Consideremos el subconjunto $H\subset L^{2}(\mathbb{R})$ definido por

$$H:=\left\{g\in L^{2}(\mathbb{R}) : \widehat{g}(\xi)=0, \quad \text{a.e. }\xi \in E\right\} \tag{1}$$

Lema $H$ es un subespacio lineal cerrado e invariante de traslación de $L^{2}(\mathbb{R})$ .

Prueba: De la linealidad de la transformada de Fourier se deduce que $H$ es un subespacio. Para ver que $H$ es cerrada, supongamos que una secuencia $g_{n}\in H$ converge a algún $g\in L^{2}(\mathbb{R})$ . Por la continuidad de la transformada de Fourier, $\widehat{g}_{n}\rightarrow\widehat{g}$ en $L^{2}$ pasando a una subsecuencia si es necesario, podemos suponer que $\widehat{g}_{n}\rightarrow\widehat{g}$ casi en todas partes (a.e.). En $\widehat{g}_{n}(\xi)=0$ para a.e. $\xi\in E$ se deduce de la no consideración de una unión contable de conjuntos nulos que $\widehat{g}(\xi)=0$ para a.e. $\xi\in E$ . Para ver que $H$ es invariante de traslación, recordemos la propiedad básica de la transformada de Fourier de que $\widehat{\tau^{h}g}=e^{-2\pi i h\cdot}\widehat{g}$ . $\Box$

Desde $L^{2}(\mathbb{R})$ es un espacio de Hilbert (separable), $H$ es un espacio de Hilbert. Afirmo que $H=\overline{\text{span}}\left\{\tau^{y}f : y\in\mathbb{R}\right\}$ . Basta con demostrar que si $g\in H$ satisface $\langle{g,\tau^{y}f}\rangle=0$ para todos $y\in\mathbb{R}$ entonces $g=0$ a.e. Por el teorema de Plancherel,

$$0=\langle{g,\tau^{h}f}\rangle=\langle{\widehat{g},\widehat{\tau^{h}f}}\rangle=\langle{\widehat{g},e^{-2\pi iy\cdot}\widehat{f}}\rangle=\left(\widehat{g}\overline{\widehat{f}}\right)^{\vee},\tag{2}$$

donde en la última igualdad utilizamos el hecho de que $\widehat{g}\overline{\widehat{f}}\in L^{1}(\mathbb{R})$ y por tanto tiene una transformada de Fourier dada por a $C_{0}(\mathbb{R})$ función. Por inversión de Fourier, obtenemos que $\widehat{g}\overline{\widehat{f}}=0$ a.e. As $\widehat{f}\neq 0$ a.e. en $E^{c}$ debemos tener que $\widehat{g}\neq 0$ a.e. en $E^{c}$ . De donde, $\widehat{g}=0$ a.e. y por el teorema de Parseval, $g=0$ a.e.

Ahora dado $\epsilon>0$ y $g\in H$ el resultado anterior nos da una combinación lineal finita de traslaciones de $f$ , $f_{\epsilon}:=a_{1}\tau^{y_{1}}f+\cdots+a_{m}\tau^{y_{m}}f$ tal que

$$\epsilon>\left\|g-f_{\epsilon}\right\|_{L^{2}}=\left\|\widehat{g}-\widehat{f}_{\epsilon}\right\|_{L^{2}}=\left\|\widehat{g}-\sum_{j=1}^{m}a_{j}e^{-2\pi i y_{j}\cdot }\widehat{f}\right\|_{L^{2}} \tag{3}$$

Es evidente que $\sum_{j}a_{j}e^{-2\pi i y_{j}\cdot}$ define un $C^{\infty}(\mathbb{T})$ función. Sea $N>0$ sea lo suficientemente grande para que

$$\int_{\left|\xi\right|\geq N}\left|\sum_{j=1}^{m}a_{j}e^{-2\pi i y_{j}\xi}\widehat{f}(\xi)\right|^{2}d\xi<\epsilon^{2}\tag{4}$$

Sea $\varphi\in C_{c}^{\infty}$ sea una función suave y compactamente supuesta que es $0\leq\varphi\leq 1$ , $1$ en $[-N,N]$ y $0$ fuera de $(-2N,2N)$ . Definir un $C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$ función $\Phi$ por

$$\Phi(\xi):=\varphi(\xi)\sum_{j=1}^{m}a_{j}e^{-2\pi i y_{j}\xi}, \quad\xi\in\mathbb{R} \tag{5}$$

Observe que

$$\int_{\mathbb{R}}\left|\left[\sum_{j=1}^{m}a_{j}e^{-2\pi i y_{j}\xi}-\Phi(\xi)\right]\widehat{f}(\xi)\right|^{2}d\xi\leq\int_{N\leq\left|\xi\right|}\left|1-\varphi(\xi)\right|^{2}\left|\sum_{j=1}^{m}a_{j}e^{-2\pi i y_{j}\xi}\right|^{2}\left|\widehat{f}(\xi)\right|^{2}d\xi$$

Para estimar el lado derecho (RHS), observamos que $\left|1-\varphi\right|^{2}$ por lo que el lado derecho es $\leq$ $$\int_{\left|\xi\right|\geq N}\left|\sum_{j=1}^{m}a_{j}e^{-2\pi i y_{j}\xi}\right|^{2}\left|\widehat{f}(\xi)\right|^{2}d\xi<\epsilon^{2} \tag{6}$$

Utilizando esta estimación con (3), concluimos de la desigualdad triangular que

$$\left\|\widehat{g}-\Phi\widehat{f}\right\|_{L^{2}}\leq\left\|\widehat{g}-\sum_{j=1}^{m}a_{j}e^{-2\pi i y_{j}\cdot}\widehat{f}\right\|_{L^{2}}+\left\|\sum_{j=1}^{m}a_{j}e^{-2\pi i y_{j}\cdot}\widehat{f}-\Phi\widehat{f}\right\|_{L^{2}}<2\epsilon \tag{7}$$