Mostrar $ x-y\in\mathbb{Q}$ ¿es una relación de equivalencia?

Question

¿Cómo se demostraría que la siguiente es una relación de equivalencia?

La relación R sobre los números reales dada por xRy iff número $ x-y\in\mathbb{Q}$ .

Esto es lo que hice.

Reflexivo

Sea $x \in \mathbb{R}$ y $y\in \mathbb{R}$ entonces $x-y \in \mathbb{Q}$ es lo mismo que $x-y \in \mathbb{Q}$

Por lo tanto xRx yRy

Simétrico

Sea xRy $x-y \in \mathbb{Q}$ es lo mismo que

$y-x \in \mathbb{Q}$ yRx.

Transitivo x,y,z son números reales/

Sea xRy $x-y \in \mathbb{Q}$ yRz es $y-z \in \mathbb{Q}$ . Así

$x-z \in \mathbb{Q}$ y en conclusión xRz mostrando transitiva.

Ahora tengo que encontrar la clase de equivalencia de las siguientes

$0=\{1/2-1/2,2-2,3-3\}$ cualquier real menos sí mismo

$1=\{2-1,3-2,4-3\}$

$\sqrt{2}$ = conjunto vacío porque no se puede escribir como racional.

Answer 1

Tu prueba de reflexividad es incorrecta. Demostrar que $xRx$ demuestre que $x-x$ es racional (y lo es porque $0 \in \mathbb Q$ ). Su prueba de simetría y transitividad debe hacer alguna referencia al hecho de que $\mathbb Q$ es cerrado bajo negativos y suma, respectivamente.

Ahora, su discusión de las clases de equivalencia de $0$ , $1$ y $\sqrt{2}$ son incorrectos. La clase de equivalencia de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $x R y$ . Así que buscamos a todos $y$ tal que $y - x = q$ es racional. Resolviendo esta ecuación, estamos buscando todos los números de la forma $x + q$ para $q$ racional. Si sabes algo de álgebra abstracta, la clase de equivalencia en este caso es la coset $x + \mathbb Q$ .

Por lo tanto, la clase de equivalencia de $\sqrt{2}$ no está vacío ( $\sqrt{2}$ debería estar en ese conjunto, como mínimo), sino que debería incluir todos los números de la forma $\sqrt{2} + q$ para $q \in \mathbb Q$ . Este proceso de reflexión debería ser similar para los otros dos casos.

Answer 2

Su prueba "reflexiva" es errónea. Debería decir $$\forall x\in\mathbb{R}, \quad x-x=0\in\mathbb{Q}\implies xRx$$

No estoy seguro de si esto estaba implícito, pero para la transitividad el argumento correcto es $$\begin{align}xRy, \;yRz&\implies x-y,y-z\in\mathbb{Q} \\ &\implies (x-y)-(y-z)\in\mathbb{Q} \\ &\implies x-z\in \mathbb{Q} \\ &\implies xRz.\end{align}$$

La clase de equivalencia de un número es el conjunto de todos los números a una distancia racional de él. Dicho de otro modo, $$\bar{0}=\mathbb{Q}, \\ \bar{1}=1+\mathbb{Q}=\mathbb{Q}=\bar{0}, \\ \overline{\sqrt 2}=\sqrt 2 +\mathbb{Q}.$$ He utilizado la notación "coset". Que $1+\mathbb{Q}=\mathbb{Q}$ se deduce de $1\in\mathbb{Q}$ .

Answer 3

Tu formulación de las cosas es un poco impar; creo que puedes estar malinterpretando algo.

Por ejemplo, para demostrar la propiedad transitiva, hay que suponer que se parte de $x,y,z$ tal que $xRy$ y $yRz$ y hacer un argumento que finalmente concluye $xRz$ . por ejemplo, podría escribir

Sea $xRy$ y $yRz$ . Por lo tanto ... y así $xRz$ .

o mejor aún,

Sea $x,y,z$ satisfacer $xRy$ y $yRz$ . Por lo tanto ... y así $xRz$ .

Sus declaraciones reales, como

Sea $xRy$ sea $x - y \in \mathbf{Q}$

suenan más como si estuvieras afirmando una definición de $R$ en lugar de, por ejemplo, enunciar la hipótesis de que se tienen variables $x$ y $y$ que satisfagan $xRy$ y luego deducir que $x - y \in \mathbf{Q}$ .