Supongamos que tengo algún grupo (finito) $G$ y un subgrupo normal $N$ . Sé que no hay una caracterización completa de si $G \cong N \rtimes G/N$ pero, ¿existen pruebas conocidas que me permitan responder a esta pregunta en casos comunes? Además, si $G$ es un producto semidirecto, entonces como sabemos $G \ge H \cong G/N$ ...pero ¿cómo encuentro explícitamente los elementos de $H$ ? Se encuentran en los cosets de $N$ pero no conozco ninguna forma de averiguar, sin hacer pruebas exhaustivas, cuáles son los elementos "correctos". Agradeceré cualquier sugerencia al respecto.
Respuesta
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Matt Dawdy
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Un grupo $G$ y un subgrupo normal $N$ determina un secuencia exacta corta
$$1 \to N \to G \to G/N \to 1$$
y esta breve secuencia exacta presenta $G$ como producto semidirecto si y sólo si el mapa $G \to G/N$ divide o, lo que es lo mismo, si tiene una inversa directa. Dada dicha inversa directa, los elementos de $H$ vienen dadas por la imagen del inverso de la derecha.
Un ejemplo sencillo en el que esto no ocurre es la secuencia exacta corta
$$1 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_2 \to 1.$$
Una condición suficiente para la división viene dada por la Teorema de Schur-Zassenhaus siempre existe tal división si $\gcd(|N|, |G/N|) = 1$ . Un caso especial más simple de esto, utilizando los teoremas de Sylow, es que tal división siempre existe si el orden de $G/N$ es el orden de un subgrupo Sylow de $G$ .
