Cuál es el valor de la exponencial en el plano complejo

Question

Tengo una duda sobre el valor de $e^{z}$ en $\infty$ en uno de mis libros mencionan que como $\lim_{z \to \infty} e^z \to \infty$

Pero en otro libro dicen que no existe. Ahora estoy confundido.

Como podemos ver $e^{z}$ es función entera entonces como $z \to \infty$ entonces $e^{z}$ debe ir a $\infty$

Por favor, ayuda.

Answer 1

$|e^{i2\pi n}|=1$ para todos $n$ y $|i2\pi n| \to \infty$ . Por lo tanto, no es cierto que $|e^{z}| \to \infty$ como $|z| \to \infty$ . Por supuesto, el límite es $\infty$ cuando se toma límite a través de $\{1,2,..\}$ por lo que el límite de $e^{z}$ como $|z| \to \infty$ no existe.

Answer 2

$e^z$ tiene una singularidad esencial en $z=\infty$ por lo que no diríamos $\lim\limits_{z\to\infty}e^z=\infty$ pero en su lugar decimos que el límite no existe.

Answer 3

En análisis real, $$\lim\limits_{x\to\infty}e^x=\infty$$ porque el límite se toma a lo largo del eje real positivo. Análogamente, $$\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0$$ porque el límite se toma a lo largo del eje real negativo.

Sin embargo, en el análisis complejo, $\infty$ se toma como el punto añadido para hacer el compactación de un punto del plano complejo (el Esfera de Riemann ). $e^z$ toma todos los valores complejos distintos de cero en cualquier vecindad de $\infty$ . Por lo tanto, $\lim\limits_{z\to\infty}e^z$ no existe.

Answer 4

Creo que $e^x$ llega hasta el infinito, mientras que $e^z$ ou $(e^i)^x$ gira alrededor del círculo unitario a la velocidad de la distancia alrededor de un círculo unitario.

La letra "z" puede significar número entero real o número complejo:

z = enteros = ( -inf, ..., -2,-1,0,1,2....inf)

z = complejo = x + iy

¿A cuál se refiere?

Answer 5

A menos que esté trabajando en el plano complejo extendido, es decir. $\mathbb C\cup$ { $\infty$ }, puede utilizar la sustitución $z=\frac{1}{w}$ e investigar el comportamiento en $w=0$ .

$e^{1/w}$ tiene una singularidad esencial en $w=0$ y Gran teorema de Picard dice que tomará todos los valores en $\mathbb C$ en las proximidades de $w=0$ con una sola excepción.