Cada $n$ -es biracionalmente equivalente a una hipersuperficie en $\mathbb{A}^{n+1}.$

Question

Problema: Mostrar cada $n$ -es biracionalmente equivalente a una hipersuperficie en $\mathbb{A}^{n+1}.$

Pensamientos: Para una variedad (cuasi-proyectiva) $X,$ el campo de función $k(X)$ es una extensión finitamente generada de $k.$ La dimensión de $X$ se ha definido como el grado de trascendencia de $k(X)$ en $k.$

Dos variedades $X$ , $Y$ son biracionalmente equivalentes si y sólo si sus campos de funciones $k(X)$ y $k(Y)$ son isomorfas.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Muchas gracias.

Answer 1

Sea $X$ ser un $n$ -(irreducible, sobre un campo algebraicamente cerrado) $k$ etc.). Elija una base de trascendencia $x_1, \ldots, x_n$ para el campo de función $K (X)$ y supongamos que $K (X)$ es separable sobre esa base de trascendencia. Por el teorema del elemento primitivo, existe un elemento $y$ sur $K (X)$ que genera $K (X)$ en $k (x_1, \ldots, x_n)$ y éste tiene un polinomio mínimo sobre $k (x_1, \ldots, x_n)$ , digamos $f (t)$ .

Despejando denominadores, podemos suponer que $f (t)$ tiene coeficientes en $k [x_1, \ldots, x_n]$ y por el lema de Gauss, $f (t)$ sigue siendo irreducible sobre $k [x_1, \ldots, x_n]$ . De ello se deduce que $X$ es biracionalmente isomorfa a la hipersuperficie $\{ f (y) = 0 \} \subset \mathbb{A}^{n+1}$ .