Una pregunta sobre la conectividad local

Question

Sea C un subconjunto conexo y completamente metrizable del plano euclídeo. ¿Puede C no ser localmente conexo en cada uno de sus puntos?

Answer 1

El pseudoarco es otro ejemplo de plano. De hecho, ¿no es el ejemplo de Victor un pseudo-arco?

Answer 2

Editar He aquí un ejemplo más sencillo. Sea $K$ el tercio medio del conjunto de Cantor y

$$B=\{(t,ty): 0\leq t\leq 1, y\in K\}$$

sea el cono sobre $K,$ el Delegación de Cantor y $C=B\cup\varphi(B),$ donde $\phi$ es la simetría central alrededor del punto medio $(1/2,0)$ de la ramita inferior $[0,1]\times\{0\}.$ Así $C$ se obtiene pegando dos ramas de Cantor rotadas por $\pi$ entre sí a lo largo de sus ramitas inferiores. Este espacio $C$ es compacta y está conectada por trayectorias, pero no está conectada localmente en cada punto. De hecho, una pequeña vecindad de cada punto $P$ contendrá partes de ramitas de Cantor que no pasen por $P.$

---

Sí. A solenoide es un continuo homogéneo (=espacio métrico compacto conectado) incrustado en $\mathbb{R}^3$ que no está localmente conectado en ningún punto, de hecho, una pequeña vecindad de cada punto se parece al conjunto de Cantor cruzado con un intervalo. Su proyección genérica a $\mathbb{R}^2$ es compacta, conexa y no localmente conexa en cada uno de sus puntos. [ Editar Ya no estoy seguro de que esta última afirmación sea cierta].

Answer 3

Cualquier continuo indecomponible tiene la propiedad que deseas.

(Un continuo es indecomponible si no puede escribirse como unión de dos subcontinuos propios).

Una forma de ver esto es que cualquier continuo indecomponible tiene incontables compositores, todos los cuales son mutuamente disjuntos, y todos los cuales son densos en $x$ . (Aquí el composante de un punto $x$ sur $X$ es la unión de todos los subcontinuos propios de $X$ que contienen $x$ .)

He aquí una prueba más directa: Supongamos que $C$ es un subcontinuo propio de $X$ que es una vecindad de $x$ . Entonces todo componente conexo de $V := X\setminus C$ contiene un punto de $C$ en su límite. (Esto se conoce como el "teorema del bumping en el límite").

Si $\overline{V}$ está conectado, entonces $\overline{V}$ y $C$ son subcontinuos propios de $X$ cuya unión es $X$ .

Si $V$ está desconectado, descomponer $V$ en dos subconjuntos relativamente cerrados y disjuntos $A$ y $B$ Entonces $A\cup C$ y $B\cup C$ son los subcontinuos deseados.

Un ejemplo sencillo de un continuo indecomponible viene dado por el Mango de cubo Knaster Ver

http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3aThe_Knaster_%22bucket-handle%22_continuum.svg .

El solenoide, mencionado en otra respuesta, es otro continuo indecomponible. También se pueden obtener ejemplos de este tipo a partir de los continuos "Lagos de Wada". Por supuesto, el doble cepillo de Cantor dado por Victor es no indecomponible (y de hecho hereditariamente descomponible).

Answer 4

Tomemos el subconjunto $A=\left(\{1\}\times[0,1]\right)\cup\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}[0,1]\times\{\frac{1}{n}\}\right)\cup\left([0,1]\times \{0\}\right)$ . Así descrito, puede parecer horrible, pero si lo dibujas, es un conjunto muy sencillo.

Este conjunto es cerrado, y por tanto completamente metrizable. También es conexo (bastan tres segmentos para conectar dos puntos cualesquiera, por lo que es conexo por caminos). Pero en el punto $(0,0)$ no tiene una base de vecindad de subconjuntos conectados.