Sea $x>y>0$ . Demostrar que $$x^{y^x}>y^{x^y}.$$ Mis intentos:
- Sea $1>x>y>0$ .
En este caso basta con demostrar que $$y^x<x^y$$ o $$x\ln\frac{1}{y}>y\ln\frac{1}{x},$$ lo cual es obvio;
- $x\geq1>y>0$ .
En este caso nuestra desigualdad es obviamente cierta;
- $e\geq x>y>1.$ .
Tenemos que demostrar que $f(x)\geq0,$ donde $$f(x)=x\ln{y}-y\ln{x}+\ln\ln{x}-\ln\ln{y}.$$ Ahora, $$f'(x)=\ln{y}-\frac{y}{x}+\frac{1}{x\ln{x}}.$$ Sea $h(y)=\ln{y}-\frac{y}{x}+\frac{1}{x\ln{x}}.$
Así, $$h'(y)=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}>0,$$ que dice $$h(y)>h(1)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x\ln{x}}=\frac{1-\ln{x}}{x\ln{x}}\geq0.$$ Id est, $f$ aumenta y $$f(x)>f(y)=0;$$ 4. $x>y\geq e$ .
Desde $$\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)'=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\leq0$$ para todos $x\geq e,$ obtenemos: $$f(x)=xy\left(\frac{\ln{y}}{y}-\frac{\ln{x}}{x}\right)+\ln\ln{x}-\ln\ln{y}>0;$$ 5. $x\geq e>y>1.$
En este caso estoy atascado.
Gracias.
