Determinación del número de $R$ submódulos donde $R= \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$

Question

Supongamos que $R=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ .

i) ¿Cuántos submódulos R $M= Rx \subset R^{2} \ (x\in R^{2}) $ ¿están ahí?
ii) ¿Cuántas clases de equivalencia son isomorfas a M?

i) definición de un submódulo: Sea M un módulo R y $L\subset M$ entonces L es un submódulo R de M si el propio L es un módulo R respectivamente a la operación sobre M.

todo ideal I de R es un submódulo R de R. Los ideales de R son las clases de equivalencia $\overline{0,1,2,3}$ por lo que los submódulos de M en este caso son : 0x,1x,2x,3x. De aquí se deduce también que el número de clases de equivalencia es igual al número de submódulos (ii).

¿Está bien este razonamiento?

Answer 1

$\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}$ Asegurémonos de que sabemos cómo enfrentarnos a $R$ ¡Primero! Tal vez sea útil señalar que en realidad estamos haciendo preguntas sobre grupos abelianos: un $R$ -submódulo de $R$ es lo mismo que un $\Z$ -submódulo de $R$ . En cualquier caso, los submódulos de $R$ corresponden a subgrupos de $\Z$ que contienen $4\Z$ y hay tres.

Ahora quiere encontrar el cíclico $R$ -submódulos de $R \times R$ . Este módulo sólo tiene $16$ elementos, por lo que no es tan difícil simplemente comprobar cada uno [Digamos que tomo $(1, 2) \in R \times R$ . Entonces esto genera $\{(1, 2), (2, 0), (3, 2), (0, 0)\}$ que es isomorfo a $R$ ]. Pero algunas observaciones pueden facilitar el trabajo.

Tenga en cuenta que el orden de $(a, b)$ es el l.c.m. de las órdenes de $a$ y $b$ . Si quiero encontrar los submódulos cíclicos de orden $4$ es decir, los submódulos isomorfos a $R$ entonces quiero $a$ ou $b$ de orden $4$ . Así que quiero pares como $(1, b), (3, b)$ y sus versiones espejo. Según mis cuentas, hay $12$ tales pares. Aquí hay que tener cuidado: cada uno de estos elementos generará un submódulo que contiene dos elementos de orden $4$ así que al final sólo hay $6$ submódulos de este tipo.