¿Cómo se demuestra una afirmación del tipo "para todos los números enteros $x$ existe un número entero $y$ tal que $3 \mid x + y$ ".

Question

Creo que la afirmación es cierta. Sé que empiezas asumiendo $x$ es un número entero, y se elige un $y$ . Digamos que $y = 3$ . Y a continuación tienes que demostrar que $3 \mid x + y$ para demostrar que la afirmación es cierta.

Creo que el siguiente paso es decir $3k = x + y$ donde $k$ es un número entero. No sé muy bien por dónde seguir. Mi idea inicial era que $3k = x + y$ donde $k$ es un número entero demuestra que $3$ divide $x + y$ pero entonces ¿qué sentido tiene elegir un valor para $y$ ? Y si estoy equivocado aquí, ¿cómo puedo demostrar que $3 \mid x + y$ basándome en mi suposición de que $x$ es un número entero y $y = 3$ ?

Answer 1

Sea $y$ depender de $x$ . $y$ no puede ser independiente de $x$ Esto se puede comprobar probando algunos valores de $x$ .

Dado $x\in \mathbb{Z}$ , dejemos que $y=3-x \in \mathbb{Z}$ entonces tenemos $x+y=3$ . Esto respondería a su pregunta.

Sin embargo, te animo a que practiques más:

• Trate de pensar en una opción diferente de $y$ como ejercicio.
• Trate también de pensar en $x$ encuentre todas las opciones posibles de $y$ .

Answer 2

Lógicamente, la afirmación que has puesto como ejemplo significa que si eliges cualquier entero $x$ - siempre puedes encontrar algunos otro entero $y$ tal que su suma $x + y$ es divisible por $3$ .

Entonces, supongo que lo interpretas de una manera ligeramente diferente: dices que suponer $x$ es ( algunos ) entero y elija a $y$ .

Pero el sentido de la declaración es otro: dice que arreglamos $x$ primero - es arbitrario en el sentido de que podemos darle cualquier valor antes de la fijación, pero después de que - $x$ se define para la parte restante de la declaración - y dice que podemos elegir algunos $y$ por ello $x$ tal que se cumpla la condición dada.

En cuanto a la práctica, creo que cualquier libro de cálculo para principiantes( ¿Cuáles son los libros de texto recomendados para la introducción al cálculo? ) te dará algo de práctica para entender estas cosas, ya que tienes que entender los cuantificadores ( $\forall$ , $\exists$ etc.) para averiguar los límites, en los que se basan muchos conceptos básicos. Pero también puedes leer un libro de geometría o álgebra.

Answer 3

Si $x \in \mathbb{Z}$ seleccione $y=2x \in \mathbb{Z}$ . Esto da $x+y=x+2x=3x$ .

Desde $3 | 3x$ concluimos $3|x+y$

Answer 4

Así que sabemos $x$ es un número entero. Y nosotros desea $3|x+y$ . Así que queremos $x+y = 3k$ para algunos $y$ y $k$

$y$ es el que queremos encontrar. $x$ es la que tenemos comprometida y no podemos cambiar. Y $k$ es lo que podemos manipular como queramos para encontrar el $y$ .

Así que desea $y = 3k-x$ que.... es todo lo que necesitamos. Para cualquier $x$ deja que $k = 1$ y $y = 3 - x$ .

Ya está. $x+y = x+(3-x) = 3$ y $3|x+y$ .

Eso funcionará para cada $x$ .