[K] se refiere al artículo de Kontsevich "Deformation quantization of Poisson manifolds, I".
Fondo
Sea $X$ sea una variedad afín suave (sobre $\mathbb{C}$ o tal vez un campo de característica cero) o resp. una variedad real lisa (¿compacta?). Sea $A = \Gamma(X; \mathcal{O}_X)$ o resp. $C^\infty(X)$ .
Denotemos la dg Álgebra de Lie de campos polivectoriales en $X$ (con corchete de Schouten-Nijenhuis y diferencial cero) por $T$ . Denotemos la dg Álgebra de Lie del complejo de co-cadenas de Hochschild desplazado de $A$ (con corchete de Gerstenhaber y diferencial de Hochschild) por $D$ .
Entonces el teorema de Hochschild-Konstant-Rosenberg afirma que existe un cuasi-isomorfismo de dg espacios vectoriales de $T$ a $D$ . Sin embargo, el mapa HKR no un mapa de la dg Álgebras de Lie . Es no un mapa de la dg álgebras ya sea (donde la multiplicación en $T$ viene dado por el producto en cuña y la multiplicación en $D$ viene dado por el producto taza de las co-cadenas de Hochschild).
Creo que la "formalidad de Kontsevich" se refiere a la afirmación de que, mientras que el mapa HKR no es un cuasi-isomorfismo --- o incluso un morfismo --- de dg Álgebras de Lie hay un $L_\infty$ cuasi-isomorfismo $U$ de $T$ a $D$ y, por lo tanto $D$ es de hecho formal como dg Álgebra de Lie .
El primer "coeficiente de Taylor" del $L_\infty$ morfismo $U$ es precisamente el mapa HKR (véase la sección 4.6.2 de [K]).
Además, este cuasi-isomorfismo $U$ es compatible con la dg álgebra estructuras en $T$ y $D$ (véase la sección 8.2 de [K]), y produce un "mapa HKR corregido" que es un cuasi-isomorfismo del álgebra dg. La "corrección" procede de la raíz cuadrada del $\hat{A}$ clase de $X$ . Véase esta pregunta anterior de MO .
Preguntas
(0) ¿Son correctas todas mis afirmaciones anteriores?
(1) ¿De qué manera $L_\infty$ morfismo $U$ compatible con la dg álgebra ¿Estructuras? No entiendo lo que esto significa.
(2) Cuando $X$ es una variedad real lisa (¿compacta?), creo que todas las afirmaciones anteriores están demostradas en [K]. Cuando $X$ es una variedad afín lisa, creo que todas las afirmaciones deberían seguir siendo ciertas. ¿Dónde puedo encontrar pruebas?
(3) Además, la última sección de [K] sugiere que todas las afirmaciones siguen siendo ciertas cuando $X$ es suave posiblemente no afín variedad. Sin embargo, para una variedad lisa general, en lugar de tomar el complejo de co-cadenas de Hochschild de $A = \Gamma(X;\mathcal{O}_X)$ presumiblemente deberíamos tomar el complejo de co-cadenas de Hochschild de la categoría derivada (dg?) de $X$ . ¿Es correcto? Si es así, ¿dónde puedo encontrar pruebas?
En la penúltima frase de [K], Kontsevich parece afirmar que las afirmaciones para las variedades son corolarios de las afirmaciones para las variedades reales, pero no veo cómo puede ser cierto. En la última frase del artículo, dice que demostrará estas afirmaciones "en el próximo artículo", pero no estoy seguro de qué artículo es "el próximo artículo", ni siquiera estoy seguro de que exista, ya que "Deformation quantization of Poisson manifolds, II" no existe.
P.D. No sé cómo etiquetar esta pregunta. Siéntase libre de etiquetarla como desee.
