Algunas preguntas sobre la formalidad Kontsevich

Question

[K] se refiere al artículo de Kontsevich "Deformation quantization of Poisson manifolds, I".

Fondo

Sea $X$ sea una variedad afín suave (sobre $\mathbb{C}$ o tal vez un campo de característica cero) o resp. una variedad real lisa (¿compacta?). Sea $A = \Gamma(X; \mathcal{O}_X)$ o resp. $C^\infty(X)$ .

Denotemos la dg Álgebra de Lie de campos polivectoriales en $X$ (con corchete de Schouten-Nijenhuis y diferencial cero) por $T$ . Denotemos la dg Álgebra de Lie del complejo de co-cadenas de Hochschild desplazado de $A$ (con corchete de Gerstenhaber y diferencial de Hochschild) por $D$ .

Entonces el teorema de Hochschild-Konstant-Rosenberg afirma que existe un cuasi-isomorfismo de dg espacios vectoriales de $T$ a $D$ . Sin embargo, el mapa HKR no un mapa de la dg Álgebras de Lie . Es no un mapa de la dg álgebras ya sea (donde la multiplicación en $T$ viene dado por el producto en cuña y la multiplicación en $D$ viene dado por el producto taza de las co-cadenas de Hochschild).

Creo que la "formalidad de Kontsevich" se refiere a la afirmación de que, mientras que el mapa HKR no es un cuasi-isomorfismo --- o incluso un morfismo --- de dg Álgebras de Lie hay un $L_\infty$ cuasi-isomorfismo $U$ de $T$ a $D$ y, por lo tanto $D$ es de hecho formal como dg Álgebra de Lie .

El primer "coeficiente de Taylor" del $L_\infty$ morfismo $U$ es precisamente el mapa HKR (véase la sección 4.6.2 de [K]).

Además, este cuasi-isomorfismo $U$ es compatible con la dg álgebra estructuras en $T$ y $D$ (véase la sección 8.2 de [K]), y produce un "mapa HKR corregido" que es un cuasi-isomorfismo del álgebra dg. La "corrección" procede de la raíz cuadrada del $\hat{A}$ clase de $X$ . Véase esta pregunta anterior de MO .

Preguntas

(0) ¿Son correctas todas mis afirmaciones anteriores?

(1) ¿De qué manera $L_\infty$ morfismo $U$ compatible con la dg álgebra ¿Estructuras? No entiendo lo que esto significa.

(2) Cuando $X$ es una variedad real lisa (¿compacta?), creo que todas las afirmaciones anteriores están demostradas en [K]. Cuando $X$ es una variedad afín lisa, creo que todas las afirmaciones deberían seguir siendo ciertas. ¿Dónde puedo encontrar pruebas?

(3) Además, la última sección de [K] sugiere que todas las afirmaciones siguen siendo ciertas cuando $X$ es suave posiblemente no afín variedad. Sin embargo, para una variedad lisa general, en lugar de tomar el complejo de co-cadenas de Hochschild de $A = \Gamma(X;\mathcal{O}_X)$ presumiblemente deberíamos tomar el complejo de co-cadenas de Hochschild de la categoría derivada (dg?) de $X$ . ¿Es correcto? Si es así, ¿dónde puedo encontrar pruebas?

En la penúltima frase de [K], Kontsevich parece afirmar que las afirmaciones para las variedades son corolarios de las afirmaciones para las variedades reales, pero no veo cómo puede ser cierto. En la última frase del artículo, dice que demostrará estas afirmaciones "en el próximo artículo", pero no estoy seguro de qué artículo es "el próximo artículo", ni siquiera estoy seguro de que exista, ya que "Deformation quantization of Poisson manifolds, II" no existe.

P.D. No sé cómo etiquetar esta pregunta. Siéntase libre de etiquetarla como desee.

Answer 1

Hola Kevin, aunque la pregunta esté contestada me gustaría añadir algunas observaciones.

(0) la afirmación de que

este cuasi-isomorfismo $U$ es compatible con el álgebra dg sobre $T$ y $D$

no es exactamente cierto. Es compatible sólo en cohomología tangente.

(1) Estoy de acuerdo con Daniel y James en que existe una $G_\infty$ -cuasi-isomorfismo entre $T$ y $D$ (esto implica compatibilidad a nivel de cohomología tangente, y es estrictamente más fuerte). Pero hasta hace poco no se sabía si la de Kontsevich $L_\infty$ -puede convertirse en un $G_\infty$ -Uno. Un artículo reciente de Willwacher resuelve (de forma positiva) esta cuestión (EDIT: Willwacher hace la comparación con la de Tamarkin $G_\infty$ -en la sección 10).

(2) la demostración para las variedades afines lisas es esencialmente la misma que para las variedades diferenciables lisas. Ambas se basan en

• bien en la salida de una conexión en el haz tangente (véanse los trabajos de Dolgushev, por ejemplo. éste ).

• o (equivalentemente) en la acíclicidad de las gavillas de secciones de haces (véase, por ejemplo, mi ponencia con Michel Van den Bergh ).

(3) referencias son

• Documento de Yekutieli y Van den Bergh'sone para variedades algebraicas lisas.

• mi artículo con Dolgushev y Halbout para variedades complejas.

• el documento anterior con Van den Bergh para un enfoque uniforme de los entornos lisos, complejos y algebraicos (utilizando algebroides de Lie).

• Documento Dolgushev-Tamarkin-Tsygan para la $G_\infty$ (véase también otro documento con Van den Bergh ).

Para una variedad suave en general, sin embargo, en lugar de tomar la de Hochschild de $A=\Gamma(X;\mathcal O_X)$ , presumiblemente deberíamos tomar el complejo de co-cadenas de Hochschild de la (¿dg?) categoría derivada de $X$ . ¿Es esto correcto?

Se podría hacer esto, pero en su lugar se trabaja a nivel de gavilla. Consideremos $T$ y $D$ como poleas y demostrar que son $L_\infty$ - (o $G_\infty$ -)cuasi-isomórficas como gavillas de DG Lie (o $G_\infty$ )-álgebras.

(3+ $\epsilon$ ) "Cuantización de la deformación de las variedades de Poisson, II" no existe, pero hay "Cuantización de deformaciones de variedades algebraicas" (bastante incompleto). También podría interesarle el muy inspirador documento "Operadas y motivos en la cuantización de deformaciones" .

Answer 2

A (1): Daniel tiene razón, hay un mapa de homotopía de álgebras de Gerstenhaber entre las dos álgebras. Sin embargo, la historia completa es bastante complicada y demostrar que las co-cadenas de Hochschild forman un álgebra de Gerstenhaber homotópica es difícil, se conoce como la conjetura de Deligne. No conozco los detalles de la prueba.

Recordemos que un álgebra de Poisson es un álgebra conmutativa con un soporte de Lie y que estos dos productos satisfacen una identidad de Leibniz. Un álgebra de Gerstenhaber es un poco como un álgebra de Poisson, excepto que el soporte de Lie es de grado 1 y no 0. El soporte satisface una identidad de Leibniz graduada. El soporte satisface una identidad de Leibniz graduada con respecto a la estructura del álgebra conmutativa.

El morfismo de formalidad como álgebras homotópicas de Gerstenhaber se restringe a un morfismo de formalidad como álgebras homotópicas de Lie y a un morfismo de formalidad como álgebras homotópicas conmutativas.

En mi opinión, la prueba más sencilla de la formalidad de las co-cadenas de Hochschild de un álgebra suficientemente bonita como álgebra homotópica de Gerstenhaber está contenida en

http://arxiv.org/abs/math.KT/0605141

Answer 3

Aquí están las respuestas a las preguntas 2, 3 y 1 (en este orden).

2) Sea $X = \operatorname{Spec} A$ sea una variedad afín suave sobre un campo $K$ de característica $0$ . Entonces existe una biyección canónica entre las deformaciones de Poisson de $A$ y deformaciones asociativas de $A$ (todo hasta equivalencia de calibre). Esto se demostró por primera vez (con un poco más de generalidad, pero suponiendo que $K$ contiene los números reales) en mi artículo

Cuantización de deformaciones en geometría algebraica, Amnon Yekutieli, Advances in Mathematics 198 (2005), 383-432. Fe de erratas: Advances in Mathematics 217 (2008), 2897-2906.

La condición sobre los números reales no es esencial para la demostración; todo lo que se necesita es un Teorema de Formalidad para el anillo de series de potencias $K[[t_1, \ldots, t_n]]$ satisfaciendo las propiedades de invariancia de Kontsevich.

Hay que señalar que la prueba anterior es de carácter global. Un argumento local sólo puede hacerse en un esquema afín $X$ que admite coordenadas etale (es decir, un mapa etale a $\mathbf{A}^n_K$ ). Los esquemas afines más grandes (que no admiten tales coordenadas) requieren un argumento de encolado, basado en la geometría formal, y la desaparición de algunos obstáculos cohomológicos.

Existen otras pruebas posteriores de este mismo resultado (enumeradas en otra respuesta). Sólo conozco la prueba de Van den Bergh (que es una variación de mi prueba).

3) Si $X$ es un esquema suave arbitrario (sobre un campo $K$ de característica $0$ ), entonces la cuantización es posible, pero sólo en un sentido stacky. Así lo sugirió Kontsevich en su artículo

M. Kontsevich, Deformation quantization of algebraic varieties, Lett. Math. Phys. 56 (2001), no. 3, 271-294.

La afirmación exacta, y su prueba, están en el artículo (¡aún no publicado!)

[TDQ] Amnon Yekutieli, Twisted Deformation Quantization of Algebraic Varieties, http://arxiv.org/abs/0905.0488 .

En esta situación más general hay que considerar deformaciones de Poisson retorcidas (es decir, apiladas) de la gavilla $\mathcal{O}_X$ y deformaciones asociativas retorcidas de la gavilla $\mathcal{O}_X$ .

Una deformación asociativa retorcida $\mathcal{A}$ es una especie refinada de pila de algebroides. La categoría de izquierda coherente $\mathcal{A}$ -es una deformación (como pila de categorías abelianas, en el sentido estudiado por Lowen y Van den Bergh) de la categoría de categorías coherentes $\mathcal{O}_X$ -módulos. Esto también ocurre a la inversa: $\mathcal{A}$ puede recuperarse a partir de su categoría de módulos (básicamente mediante la teoría de Morita).

Una deformación de Poisson retorcida es un nuevo tipo de objeto algebrogeométrico. No existe ninguna teoría de Morita relacionada con ella.

El teorema 0.10.1 de [TDQ] afirma que existe una biyección canónica, denominada mapa de cuantización retorcida, entre deformaciones de Poisson retorcidas de $\mathcal{O}_X$ y deformaciones asociativas retorcidas de $\mathcal{O}_X$ (hasta equivalencia gauge retorcida).

Existen notas de clase sobre esta obra:
http://www.math.bgu.ac.il/~amyekut/lectures/twisted-defs-2013/notes.pdf

y un artículo de encuesta:
http://www.math.bgu.ac.il/~amyekut/publications/tw-defs-surv/tw-defs-surv.html

El documento principal [TDQ] se basa en varios documentos auxiliares, entre ellos:

Extensiones centrales de Gerbes, Amno Advances in Mathematics 225, Issue 1 (2010), 445-486.

Elementos MC en Pronilpoten Amnon Yekutieli, J. Pure Appl. Algebra 216 (2012), 2338-2360

Deformaciones de Variedades Afines y el Groupoide Cruzado de Deligne, Amnon Yekutieli, Journal of Algebra 382 (2013), 115-143.

Descenso combinatorio Dat Amnon Yekutieli, que aparecerá en J. Noncommutative Geometry. Eprint arXiv:1109.1919 en http://arxiv.org .

Hay varias cuestiones intrigantes abiertas en este tema. Por ejemplo, la pregunta 0.10.2 de [TDQ] sobre la cuantización de la deformación retorcida de las superficies de Calabi-Yau.

1) La compatibilidad del morfismo de formalidad de Kontsevich con las estructuras de álgebra DG asociativa sobre campos polivectoriales y operadores polidiferenciales se precisa y demuestra en el artículo

Cohomología de Hochschild y clases de Atiyah, Damien Calaque y Michel Van den Bergh, Advances in Mathematics 224 (2010) 1839-1889.

Según recuerdo, demuestran que el morfismo de formalidad universal es (además de ser L_infty) un morfismo A_2 (es decir, A_infty truncado en el nivel 2). Esto es suficiente para deducir la fórmula para retorcer el morfismo HKR (por la raíz cuadrada de la clase Todd) con el fin de respetar el

Answer 4

Es sólo una referencia, y no me siento competente para hacer un resumen. Creo que la respuesta a la pregunta 1 se encuentra en http://www.math.jussieu.fr/~keller/publ/emalca.pdf . Al menos menciona la analogía con el isomorfismo de Duflo, que es parecido a lo que preguntas. También toma un mapa de espacios vectoriales, hace un poco de magia y termina siendo un mapa de álgebras.

Answer 5

Supongo que el enunciado adecuado para entender (1), que mezcla la estructura de Lie y la estructura de álgebra, es que este mapa es una especie de mapa de álgebras homotópicas de Gerstenhaber. Yo no sé mucho de esto (ni de nada), pero mi impresión basada en el trabajo de Fred Cohen es que el enunciado preciso es que se trata de un mapa de módulos sobre la homología de la pequeña operada de disco E2, que supongo que actúa sobre las co-cadenas de Hochschild por la prueba de la conjetura de Deligne.