Prueba de que el primer resto que reaparece al dividir uno por un número primo es uno

Question

Intento demostrar que el primer resto que reaparece al dividir uno por un número primo es uno.

Lo que encontré es que si la expansión de $1/p$ se repite con periodicidad $k$ entonces $10^k-1$ es divisible por $p$ .

Lo que no veo es cómo esto se relaciona con mi pregunta aunque de alguna manera debería, supongo.

Gracias.

EDIT
¿Es posible demostrar que el primer resto que aparece al dividir uno por un número primo es uno? sigue directamente de la condición de que si la expansión de $1/p$ se repite con periodicidad $k$ entonces $10^k-1$ es divisible por $p$ ?

Answer 1

Los restos son los restos sucesivos al dividir $1,10,100,1000,10000,\dots$ por $p$ . Si $m\lt n$ y se obtiene el mismo resto de $10^m$ a partir de $10^n$ entonces (intenta probarlo) obtienes el mismo resto de $10^0$ a partir de $10^{n-m}$ .

Answer 2

Adaptando la respuesta de Gerry Myerson a su solicitud, si $10^k-1$ es divisible por $p$ entonces el resto de dividir $10^{k+c} = (10^k-1)\times 10^c +10^c$ por $p$ es la misma que la de dividir $10^c$ por $p$ por lo que reaparecen los restos.

El primer resto en reaparecer es $1$ que es el resto de dividir $1$ por $p$ y de dividir $10^k$ por $p$ . Si algún otro resto reapareció antes, por ejemplo, de ambos $10^m$ y $10^n$ con $0<m<n<k$ entonces $1$ reaparecería incluso antes que $10^n$ en $10^{n-m}$ y $p$ dividiría $10^{n-m}-1$ .