Dado un $X$ de la distribución binomial justa para $n$ grande, ¿cuáles son las asíntotas para $P(X\geq k)$ y $P(X=k)/P(X\geq k)?$

Question

Dada una variable aleatoria $X\sim \operatorname{Binom}(n,1/2).$ Con $n$ grande y $\sqrt{n}<k<n-\sqrt{n},$ ¿cuáles son las asíntotas de la probabilidad $$P(X\geq k)$$ y la probabilidad condicional $$P(X=k\mid X\geq k)=\frac{P(X=k)}{P(X\geq k)}?$$

Siéntase libre de elegir un rango más estrecho para $k,$ si es necesario para la asíntota.

Si esto es difícil, tal vez, dado $\mu\in[0,1]$ y grandes $n,$ para el más pequeño $k$ tal $$P(X=k\mid X\geq k)\geq \mu$$ estimación $P(X\geq k).$

En esta última formulación, podemos limitarnos a $|\mu-1/2|\leq\frac1{\sqrt{n}}.$

Sé cuándo $n=2k-1,$ $$P(X\geq k)=\frac1{2}\\P(X=k\mid X\geq k)\sim\frac{2}{\sqrt{k\pi}}$$ y cuando $n=2k,$ $$P(X\geq k)-\frac12\sim \frac{1}{2\sqrt{k\pi }}\\P(X=k\mid X\geq k)\sim \frac{2}{\sqrt{k\pi}+1} $$

Esto apareció mientras trabajaba en esto (muy parcial) responder .

Tengo suficiente probabilidad en la cabeza para saber que tiene algo que ver con la forma en que las distribuciones binomiales convergen a la distribución normal, pero aparte de eso, no tengo nada.

No encontré nada obviamente útil en Wikipedia para el distribución binomial pero puede que me haya perdido algo.

Answer 1

Sin correcciones de continuidad, utilizando el CLT, de modo que $X \to \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ con $\mu=n/2$ y $\sigma^2 = n/4$ tenemos

$$P(X=k)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi n}} \exp\left( - \frac{(n-2k)^2}{2n }\right)$$

$$P(X \ge k)\approx 1- \Phi\left( \frac{2k -n}{\sqrt n}\right)$$

donde $\Phi$ denota la FDA gaussiana estándar.

Su alcance $\sqrt{n}<k<n-\sqrt{n}$ es bastante grande, me temo que no hay mucho más que simplificar aquí.

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Edición: La aproximación anterior parece bastante buena tanto para el numerador como para el denominador, pero es prácticamente inútil para calcular el cociente. Se necesita más cuidado. Al menos la corrección de continuidad es necesaria para el denominador. Entonces obtenemos

$$r_{n,k} = \frac{P(X=k)}{P(X\geq k)} \approx \frac{\phi(z)}{1-\Phi(z-\frac{1}{2\sigma})} \tag 1$$

donde $z= (k-\mu)/\sigma$ , $\mu = n/2$ , $\sigma = \sqrt{n}/2$ .

Esta aproximación de primer orden es aceptable no muy lejos de la media (digamos, $\frac12 n \pm \frac32 \sqrt{n}$ )

Tratar de aproximar $(1)$ por la relación de Mill, como se sugiere en los comentarios, no parece prometedora, porque esa aproximación es para las colas, y $(1)$ ya es malo para las colas.

Editar 2: Para la cola superior ( $ k \to n$ ) y pequeños $j\ge 0$ Recibo

$$ \frac{\binom{n}{k+j}}{\binom{n}{k}} \approx \left(\frac{n}{k}-1\right)^j \tag 2$$

y luego

$$r_{n,k} \approx 2 - \frac{n}{k} \tag 3$$

El gráfico muestra, para $n=70$ el valor exacto en azul, y la aproximación de primer orden $(1)$ en amarillo. Aproximación de la cola $(3)$ en verde. La región sombreada corresponde a la $3-$ intervalo sigma.