Condición equivalente paralelizable múltiple

Question

Este es un ejercicio de Introducción a los Múltiplos de Loring Tu en el que estoy atascado. Sé que un haz tangente es trivial si es isomorfo al haz producto $M \times \mathbb{R}^{n}$ . Aquí $n$ es la dimensión de la variedad (lisa, por supuesto) $M$ .

Creo que tengo que construir un marco liso a partir del isomorfismo y viceversa; pero no encuentro la forma de hacerlo... ¿Alguien podría ayudarme?

Answer 1

En $\mathbb{R}^n$ existe la base obvia $e_1,e_2,\dots,e_n$ . Desde $TM\cong M\times\mathbb{R}^n$ tiene la $p\mapsto e_i$ para todos $p$ define una sección lisa $X_i$ de $TM$ . En $X_1,\dots,X_n$ define un marco en cada punto.

Por el contrario, si tiene un campo de marco global $X_1,\dots,X_n$ entonces para $v\in T_pM$ tenemos $v=v^iX_i(p)$ y envía esto $v$ a $(p,(v^i))\in M\times\mathbb{R}^n$ . Comprueba que funciona.

Answer 2

Si hay un marco liso $X_1,\dots,X_n$ entonces cada vector tangente $V$ se escribe unívocamente como $$V=v^1X_1+\dots+v^nX^n.$$

¿Qué puede decir del mapa $(x,V)\mapsto(x,v^1,\dots,v^n)$ ?