Dos Homotopy Colimit Preguntas

Question

Tengo dos preguntas acerca de homotopy colimits:

1. ¿Qué podemos decir acerca de $\operatorname{hocolim}_j\operatorname{colim}_i F(i,j)$? Reiteró homotopy colimits tiempo de viaje, pero ¿qué podemos decir cuando el interno es un regular colimit? En el caso que yo estoy mirando, la homotopy colimit es un homotopy pushout y la colimit se filtra, pero estoy muy interesado en el caso general. Una respuesta, ya sea en el modelo teórico de caso o el caso específico de los espacios sería interesante para mí.
2. Desde $\Sigma X$ es el homotopy pushout de $*\leftarrow X\to *$ y homotopy colimits viaje, se deduce que, si $F\colon\mathbf I\to\mathbf{Top}$, $$\operatorname{hocolim}_i \Sigma F(i)=\Sigma(\operatorname{hocolim}_i F(i))$$ Sin embargo, a mí me parece que deberíamos ser capaces de obtener este resultado con el hecho de que $\Sigma$ es un Quillen izquierda functor adjunto. A la izquierda adjoints preservar colimits, y parece razonable sospechar que Quillen izquierda adjoints preservar homotopy colimits. Técnicamente no debería estar hablando sobre el total de la izquierda derivados functor, así que mi pregunta realmente deberían leer: Si $T\colon\mathbf C\to\mathbf D$ es una izquierda Quillen functor y $F\colon\mathbf I\to\mathbf C$ es un diagrama, es cierto que: $$\operatorname{hocolim}_i (\mathbb LT) F(i)=\mathbb LT(\operatorname{hocolim}_i F(i))$$

Answer 1

Una manera en la que he pensado acerca de esto, si el diagrama se trata de una categoría Reedy categoría: $\mathrm{hocolim}_iF(i)$ $\mathrm{colim}G(i)$ donde $G$ es un cofibrant reemplazo para $F$. A continuación, $TG$ es también un cofibrant reemplazo para $(\mathbb{L}T)F$ ($T$envía cofibrations a cofibrations y pushouts a pushouts).

Así

$$\mathrm{hocolim}_i (\mathbb{L}T)F(i) = \mathrm{colim}_i TG(i) = T \mathrm{colim}_i G(i) = \mathbb{L}T \mathrm{hocolim}_i F(i).$$

(Editado para hacer todo lo homotopical.)

Answer 2

Para (1), usted podría tratar de averiguar si el natural mapa de $hocolim_i \rightarrow colim_i$ es una equivalencia. Por ejemplo, puede que tenga suerte y su diagrama puede ser cofibrant en el modelo proyectivo de la estructura de los diagramas.

Alternativamente, un homotopy pushout puede ser construido con un doble asignación del cilindro, y no parece demasiado difícil de verificar directamente que conmuta con las colimits. Usted podría ser cuidadoso al hacer una declaración general acerca de esto, porque a veces cuando la gente dice hocolim que está pensando en las diferentes definiciones que son sólo débilmente equivalente; si este es el caso, entonces la homotopy tipo de $colim_i hocolim_j F(i,j)$ no está aún bien definida. Yo creo que con la habitual construcción de la barra de definición de hocolim (lo que da una doble asignación de cilindro en el caso de que quieras), al menos en un número finito de diagrama, estas operaciones realmente hacen el viaje. (Esperemos que no estoy echando a perder algún punto sutil-establecer la topología en diciendo esto).

Answer 3

Para (2), el hecho de que la izquierda Quillen functors son compatibles con homotopy colimits se muestra en la gran generalidad en:

Dwyer, Hirschhorn, Kan, Smith: Homotopy Límite de Functors en Categorías de Modelo y Homotopical Categorías

Ver la declaración de 19.2.