Interceptos y pendientes como modelo de resultados en lmer

Question

Me confunde la sintaxis de la fórmula de lmer para modelos mixtos.

Encontré una "chuleta" muy útil en una respuesta a un pregunta relacionada .

Por desgracia, no hay ningún ejemplo de un tipo de modelo bastante común, el modelo de intercepción/pendiente como resultados, y no entiendo cómo podría formularse.

Concretamente, no sé cómo formular un modelo como éste:

Nivel 1

$Y_{ij} = _{0j} + _{1j}(X_{ij}) + r_{ij}$

Nivel 2

$_{0j} = _{00} + _{01}W_j + u_{0j}$

$_{1j} = _{10} + _{11}W_j + u_{1j}$

donde i sobre los individuos, j sobre grupos, y $W_j$ es un predictor a nivel de grupo de la pendiente y el intercepto del nivel 1. Combinados, crean una interacción entre niveles:

$Y_{ij} = (_{00} + _{01}W_j + u_{0j}) + (_{10}+_{11}W_j + u_{1j})X_{ij} + r_{ij}$

Por coincidencia de patrones en la respuesta a esta pregunta la formulación correcta podría ser algo así

Y ~ 1 + X + W:X + (1 + X | Group)

pero realmente no entiendo por qué. ¿Podría alguien explicarme la forma correcta de modelar esto y, en particular, cómo podría informarme sobre la semántica de la fórmula de lme4?

Answer 1

Es sólo un poco de manipulación algebraica. Tomemos como ejemplo los efectos fijos: Estas son dos formas diferentes de escribir el mismo modelo de efectos fijos:

$$ Y \sim \mathcal{N}(\mathbf{X}\beta, \sigma^2)$$

y

$$ Y = \mathbf{X}\beta + \epsilon; \quad \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2).$$

Son parametrizaciones equivalentes que conducen a OLS como el MLE para $\beta$ .

Cuando los efectos aleatorios tienen una media distinta de cero, es lo mismo escribirlos como una suma de efectos fijos y aleatorios con media cero.

El objeto de fórmula que escribes no da lugar al modelo de crecimiento de pendientes aleatorias/interceptos aleatorios de tus expresiones anteriores. X + X:W es una expresión de 2 grados de libertad que no tiene efecto fijo para $W$ pero su modelo de 2 niveles tiene un intercepto aleatorio que varía en $W$ . Mejor utiliza esta fórmula:

~X*W + (1+X|Group)

Si repasas el álgebra encontrarás:

• El coeficiente (Intercept) es una estimación de $\gamma_{00}$
• el coeficiente a $X$ es una estimación de $\gamma_{10}$
• el coeficiente a $W$ es una estimación de $\gamma_{01}$
• El coeficiente a $X:W$ es una estimación de $\gamma_{11}$

para los efectos fijos. Los efectos aleatorios son más sutiles. La varianza a nivel de grupo controla para los factores de confusión entre grupos $W$ por lo que es inferior a la varianza real incondicional a nivel de grupo. De todas formas, ese es el objetivo de ajustar estas variables.

• El efecto aleatorio para Intercept es una estimación de la varianza de $u_{0j}$
• El efecto aleatorio para $X$ es una estimación de la varianza de $u_{1j}$
• La varianza residual es una estimación de la varianza de $r_{ij}$