Evaluación de $\int_0^z(z-x)^{2m-1}x^{2m-1}e^{-\frac{m}{\Omega}x^2}\times K_0(\frac{2(z-x)}{\alpha}\frac{m}{\Omega}){\rm d}x$

Question

Estoy tratando de proceder con esta integración, pero no puedo resolver completamente $$f_{Z}(z)=\int_0^z(z-x)^{2m-1}x^{2m-1}e^{-\frac{m}{\Omega}x^2}\times K_0\left(\frac{2(z-x)}{\alpha}\frac{m}{\Omega}\right){\rm d}x$$ donde $K_0$ es la función de bessel de orden zeroth.

Cualquier ayuda al respecto será muy apreciada.

Answer 1

Por lo que la función de Bes de primer orden va con la serie de ~ $\sum_{m=0}^{\infty}(z-x)^{2m}$ y luego algunos factores constantes ... los dejo fuera, u tiene que averiguar por ur propio.

tenga en cuenta que $\partial_x e^{x^2}$ es igual a $2x*e^{x^2}$ y la integral de $e^{-x^2}$ es la función de error. Obsérvese también que $\partial_a e^{ax^2}|_{a=1}=x^2e^{x^2}$ por lo que cada x potenciada con un múltiplo de 2 puede sustituirse por un $\partial_a$ si pones un $a=1$ en el exponente y luego se puede arrastrar fuera de la integral porque $\partial_a$ y $\int dx$ conmutar. No se olvide de establecer a = 1 después de u se hacen.

No voy a calcular esta integral completamente para ti, pero esto podría hacerlo considerablemente más fácil. Es básicamente integración por diferenciación. Sólo tienes que seguir la pista de las constantes que u obtener con cada derivada.

considera también, que tienes límites integrales muy simples... así que cuando tienes una potencia desigual de x como factor, obtienes un $e^{-ax^2}/a$ que en estos límites es igual a $1/2a$ que luego sólo tienes que diferenciar varias veces por $a$

un ejemplo: $\int dx (x^2+x^3)e^{-x^2}=\int dx (-\partial_a-\partial_a *x)e^{-ax^2}|_{a=1}=-\partial_a\int dx e^{-ax^2}-\partial_a \int dx$ $x*e^{-ax^2}|_{a=1}=-\partial_a \sqrt\pi/(2\sqrt a)-\partial_a(1/2a)|_{a=1}=\sqrt \pi/4+1/2$ en los límites de $0$ y $\infty$