Formas modulares. $SL(2,\Bbb Z)$ - matrices con determinante $n$

Question

Tengo el siguiente problema: Sea $\Gamma(n)$ denotan el $2\times 2$ matrices con determinante $n$ y coeficientes enteros. Dado $A,\hat{A} \in \Gamma(n)$ ¿existe un $B \in \Gamma(1)= SL(2,\mathbb{Z})$ tal que $A= B\hat{A}$ ?

Inicialmente pensé que este es el caso y he escrito $A$ y $\hat{A}$ explícitamente. Resultó que $B$ tiene efectivamente determinante $1$ pero los coeficientes no son necesariamente enteros. ¿Se pueden imponer ciertas restricciones a $A$ y $\hat{A}$ para obtener $B\in \Gamma(1)$ ¿o sólo hay casos excepcionales en los que esto es cierto?

¡Muchas gracias por cualquier idea!

Answer 1

Esto no es una respuesta, sino un comentario, que puede ayudar a aclarar la pregunta. El conjunto $\Gamma(n)$ tal como lo has definido, no es un grupo, porque la inversa tiene coeficientes enteros si y sólo si el determinante es una unidad en $\mathbb{Z}$ es decir, es $\pm 1$ . Normalmente $\Gamma(n)$ se define como subgrupo de congruencia . Explícitamente se describe del siguiente modo: $$ {\displaystyle \Gamma (n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d\equiv 1{\pmod {n}},b,c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}} $$

Answer 2

En matriz adjunta $\text{ adj}(\hat{A}) \in \mathbb{Z}^{2 \times 2}$ siempre que $A \in \mathbb{Z}^{2 \times 2}$ $$\hat{A} \text{ adj}(\hat{A}) = \det(\hat{A}) I$$

Así $\hat{A}^{-1} = \frac{1}{n}\text{ adj}(\hat{A}) $ y $$B = A \hat{A}^{-1}=\frac{1}{n}A\text{ adj}(\hat{A}) $$ Lo que significa que $n B \in \mathbb{Z}^{2 \times 2}$ pero $B$ no tiene por qué serlo, toma $$A = \scriptstyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & n\end{pmatrix}, \qquad \hat{A} = \scriptstyle \begin{pmatrix} n & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$